线性相关性、基、维数-线性代数课时9（MIT Linear Algebra , Gilbert Strang）

这是Strang教授的第九讲，讲解的内容是线性相关性、基的概念和维数的概念。

背景知识

对于未知数个数大于方程个数的线性方程组，我们知道对于Ax=0一定有非零解，原因是在消元过程中一定存在自由变量。

定义1：对于向量 $x_1,x_2,...,x_n$ ,如果 $c_1x_1+c_2x_2+...+c_3x_3=0$ 当且仅当 $c_i$ =0成立，那么向量 $x_1,x_2,...,x_n$ 线性无关。

定义2：如果 $v_1,...,v_n$ 是矩阵A的列向量，当且仅当Ax=0只有0解时， $v_1,...,v_n$ 线性无关。

定义2也可以表述为，矩阵A的列向量线性无关当且仅当N(A)=0。如果A的列向量线性无关，那么A一定是列满秩的，rank(A)=n。

定义：A set of vectors spans a space if their linear combinations fill the space.

定义的解释：如果有一组向量 $v_1,...,v_n$ ，它们生成的向量空间是只包含 $v_1,...,v_n$ 全部线性组合的向量空间。比如，A的列空间是A的列向量生成的向量空间；A行空间是由A的行向量生成的向量空间。

基的概念是和向量空间联系在一起的，它的定义：

向量空间的一组“基”是指：一组向量 $v_1,...,v_n$ ，这一组向量包含如下两个性质：1.它们线性无关；2.他们生成了整个向量空间。

例如，（1，0）、（0，1）是 $R^2$ 的一组基；（1，0，0）、（0，1，0）、（0，0，1）是 $R^3$ 的一组基。

根据“基”的定义，可以知道对于 $R^n$ 的一组基有n个线性无关的向量，他们组成的nxn矩阵可逆。向量空间可以有对组基，但他们的向量个数相同。

定义：向量空间的维数是向量空间任意一组基的向量个数。

根据基和维数的概念可以推导出关于矩阵A的如下一些事实：1. A的列空间的维数 $dim(C(A)) = rank(A)$ ;2.A的零空间的维数 $dim(N(A)) =n-rank(A)$ 。

线性相关性、基、维数这些概念并不仅仅只适用于向量空间，也可以延展到矩阵空间和函数空间，书上有举例介绍。本节课讲解了几个概念，但他们都很重要，需要理解清楚。

本节课的内容对应《INTRODUCTION TO LINEAR ALGEBRA》3.5章节。