素数判定方法_Miller-Rabbin测试

首先了解一下伪素数的概念：如果n是一个正整数，如果存在和n互素的正整数a满足a^(n-1)≡1(mod n)，我们说n是基于a的伪素数。

如果一个数是伪素数，它几乎就是素数。另一方面，如果一个数不是伪素数，它一定不是一个素数。那么在一定的条件下，如果我们选取了若干个基都发现n是伪素数，那么n是素数的概率趋近于1。

Miller-Rabbin测试

现在我们只需要多次寻找不超过n-1基并检验是否有a^(n-1)≡1(mod n)，如果一直有，那么这个数就是一个素数，否则可以立即判定这个数是个合数。

检验的时候使用快速幂进行优化，可以使复杂度降至O(slogn)，这里s为选取基的次数。可以证明，出错的概率不大于1/(2^s)，因此s取到几十就差不多了。再就是对于2要进行特判，否则会对0求余，那显然是不对的。

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <ctime>

using namespace std;

typedef long long LL;
LL gcd(LL x, LL y)
{
    if (!y) return x;
    return (y, x%y);
}
LL pow(LL a, LL x, LL mod)
{
    LL ans = 1;
    while(x)
    {
        if (x & 1) (ans *= a) %= mod;
        (a *= a) %= mod;
        x >>= 1;
    }
    return ans;
}
bool MRT(LL x)
{
    if (x == 2) return true;
    for (LL i = 1; i <= 30; ++i)
    {
        LL now = rand()%(x-2) + 2;
        if (pow(now, x-1, x) != 1) return false;
    }
    return true;
}
int main()
{
    int n;
    LL x;
    scanf("%d", &n);
    while(n--)
    {
        scanf("%I64d", &x);
        if (MRT(x)) printf("YES\n");
        else printf("NO\n");
    }
    return 0;
}