面积的精确定义究竟是什么？

无界图形为什么会有确定的面积直觉上说无界图形的所占空间无限延伸的为什么最后其所占空间的大小为定值

有关回应 · 2021-5-17 15:20:04

[h1]引子[/h1]面积和长度可以类比：
线段
长度为
是什么意思呢，也就是说
的长度是单位线段的一又二分之一。
面积也是同样的道理，只要我们定义了单位面积，那么其余的面积都可以以单位面积去度量。通常，我们选择单位正方形来定义单位面积，我想这个无需解释。
于是，我们有了计算矩形面积的公式：
例：矩形每行有
个单位正方形(即长为
)，每列有
个单位正方形(即宽为
)，由乘法原理，我们知道矩形是由
个单位正方形构成，于是它的面积即为
。
推而广之，矩形面积 =长 x 宽。由割补法，可知平行四边形面积公式；三角形是等底等高平行四边形面积的一半...
所以到头来，其实我们只知道像矩形这样规则图形的面积，而对于不规则图形面积的定义，实际上只字未提。
对于不规则图形的面积，我们该怎么办？

[h1]面积的定义[/h1]计算地图上某一地区的面积（比如北京），一般的方法是: 先用直尺在地图上画等大的方格，越细密越精确，然后我们数数落在“北京”范围内的方格有多少个（更聪明的方法是数十字交叉点），然后再乘以每个小方格的面积，最后别忘了乘比例尺的平方，于是就得到北京地区面积的近似值。（以上做法的依据可以查看皮克定理。）
将上面的过程抽像化、符号化，就得到“面积”的定义：
对于区域
，可以没有重叠地将
个矩形覆盖，将这
个矩形的面积之和记作
，若序列
的上确界存在:

即为区域
的“面积”。
实际上，在测度论中，我们称上面所定义的面积为内测度。
仿造内测度，还可以定义外测度，即是区域
被一系列矩形所覆盖且没有重叠的部分，那么这些矩形面积之和的下确界就是外测度。
而面积现代定义是：当区域
的内测度与外测度等于同一数值
时，
就是
的测度，也就是面积。
通俗地说，就是我们由从“内”和从“外”两种方法去逼近同一区域，这个过程的极限就是所求的面积。可能有人觉得没这个必要，但是的确存在不可测的集合，也就是说它内外测度不相等，这就属于题外话了。

[h1]无界区域的面积[/h1]刚才我们似乎对区域
的有界性或者无界性并未强调，那么刚才的定义还适用于无界区域吗？

比如上图中红色折线与坐标轴围成的无界区域记作
，在塞进去一个面积为
的矩形，还有多余的空间；再塞进去一个面积为
的矩形，还有多余的空间……继续以上步骤，剩余的面积越来越小，趋于
，那么我们认为这个区域的面积是：

这就是我们对无界区域运用相同的定义所获得的结果。

参考书目：
随便一本数学分析关于黎曼积分的内容
随便一本实变函数关于测度的内容

有关回应 · 2021-5-17 15:20:05

实际上这是个测度论的问题。面积是一种测度，长度、体积也是一种测度。设
为
-代数（就是对补和可列并运算封闭的集合），当一个函数
满足以下条件时，我们称它构成一个测度：

空集测度为零（废话了）：
-可加性（面积守恒）：对两两不交的集合序列
，成立
。

题主的问题就落在第二条上：按照题主的“直觉”，右边是无穷项相加，理应是
。但其实世界上存在着收敛序列这种东西，比如
。
注意测度的定义本身并没有规定某一个除空集以外的具体东西的测度究竟是多少，它只关注测度在
-代数下的运算性质，那么理论上我们可以构造出无界图形有有限面积的、甚至有界图形有无限面积的测度。比如：

在
上定义
且
旋转、平移不变。这是二维上的长度测度，拿它去测正方形就会发现，正方形的测度是
；
在
上定义
且
平移、翻转不变。它把整条实轴长度定义为
，虽然很奇怪，但它确实满足测度定义。在这个测度下，正半轴
长度为
，任何有限区间长度为
。

有关回应 · 2021-5-17 15:20:06

我也在想这个问题。面积的大小可以用单位面积来定义，所以在数学中，定义面积比显然比定义面积更为重要。定义面积有很多手段，比如占据二维空间的大小，但这样的定义有什么意义呢，就好比欧几里得在《几何原本》中把点定义为没有部分的东西，那么进一步需要定义部分和东西，不仅如此，纵观整个《几何原本》，没有一处证明用到了点的定义，那么这个定义就是无效的。同样，把面积定义为占据二维空间的大小也是同样无效的定义。面积大小可以通过单位的变换有不同的数值，而面积比在数学上则是确定的值，所以面积应当是通过单位面积计算得到的。综上所述，我认为单一的面积不可被定义，定义面积比比定义面积更有意义，面积是算出来的，至于如何定义面积比还需更深入的思考。

有关回应 · 2021-5-17 15:20:07

关于好久之前自己提的这个问题的自我思辨与解答：
先放一个链接：为什么长方形面积是长乘宽
https://www.zhihu.com/question/19953985/answer/15164876?utm_source=wechat_timeline&utm_medium=social&utm_oi=933790177755869184&from=timeline&isappinstalled=0
之前在微积分学习中一直在想，凭什么你定义曲边梯形的面积为近似求和再取极限，后来在无穷积分时这个问题又被无限放大，每天在隐隐的痛苦中度过，老师非要照本宣科说无穷曲边梯形的面积有定值，一个在空间上无限延伸覆盖区域的东西怎么可能有定值，如此反直觉真的成立吗，后来才想明白无穷积分不是面积而是一组面积的极限，同时引发另一个问题，凭什么曲边梯形面积就是近似求和再取极限，我觉得这就是答案，既然长方形的面积只是因为和长和宽同时成正比（平移不变性）而人为定义为此的，那么曲边梯形的面积定义则是人类别无所选的一种描述其面积的方式，所以定义为此，无穷相加永远不会为定值，无穷相加的极限才是定值

有关回应 · 2021-5-17 15:20:08

无限个数相加可以是有限，无边界的图形面积有限也是这个道理

面积的精确定义究竟是什么？

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