极限无穷大和极限不存在，是否等同？

看高数时，同济第六版上册对无穷大的那里，把函数极限不存在等同于函数极限无穷大，理由是为了叙述方便，而且下面紧跟的习题就是当x趋近于1时，1/（x-1）的极限为无穷大。
原来没认真学，现在重学时觉得这个很不合理（至少我这么认为），我觉得极限无穷大可以认为是极限不存在，但极限不存在不一定是极限无穷大。
各位你们怎么看？

有关回应 · 2021-5-15 00:20:16

狭义上：
极限无穷大是极限不存在的一种情况。
左右极限不相等也是极限不存在的一种情况。
在正负无穷之间来回震荡是另一种极限不存在的情况。

总结一下：

第一类间断点（左右极限值都存在）：
- 可去间断点（左右极限值相等但该点无定义）在该点处有极限，左右极限值即为在该点的极限值。
- 跳跃间断点（左右极限都存在但不等）在该点无极限。
第二类间断点（左右极限值至少有一个不存在）：
- 无穷间断点（在该点处左右极限至少有一个为无穷大）在该点处极限值为无穷大
- 震荡间断点（在该点处无定义且函数值在趋向该点时在某个区间内来回震荡）在该点处无极限

广义上：
极限无穷大是极限值收敛于无穷。
但左右极限不等、震荡仍判定为极限不存在。

一般的题目中：
如果涉及极限不存在和极限无穷大之间的互推，只要拿出震荡间断点或者震荡函数来验证一下就好了，比方说

有关回应 · 2021-5-15 00:20:17

谢邀。极限不存在有多种情况，极限无穷大只是其中的一种。例如一个在正负1之间来回振荡的数列1, -1, 1, -1, 1, -1 ...显然没有极限，但也不是极限无穷大。

有关回应 · 2021-5-15 00:20:18

和题主类似的经历
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是这样的，我们说一个极限不存在，其实是说两种情况
（1）根本不是cauchy列
（2）是cauchy列，但是极限不在我们的空间里
趋向无穷大，本质上是case（2），因为显然我们可以换一个度量是的趋于无穷的序列变成cauchy列，但是！在R上讨论，无穷大不在这里面，所以还是不收敛

有关回应 · 2021-5-15 00:20:19

极限无穷大，叫做“广义收敛；
极限不存在，叫做“不收敛”；

于是你可以说：（狭义上）极限无穷大意味着不收敛；（广义上）极限无穷大是表示收敛于无穷。

有关回应 · 2021-5-15 00:20:20

感谢 @刘江峰的邀请！

答案是否定的，二者不等同。

极限不存常见的情况：
1、左极限或右极限不存在，即趋于无穷，为无穷间断点
2、左极限和右极限存在但不相等，为跳跃间断点
3、出现无限次振荡

无穷是该点极限不存在的一种情况，某一个点极限存在必须满足左极限和右极限存在且相等。

极限无穷大和极限不存在，是否等同？

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