期权远在古希腊时期就已出现，在文艺复兴时期的欧洲更是广为使用。当代意义上的期权套利策略应当是产生于二战后的美国，高帅富数学教授Edward Thorp在横扫赌场之后转战华尔街，他于上世纪60年代就发现了Black Scholes model，并成功运用于可转债套利当中，他经营的以可转债套利为核心策略的对冲基金从60年代到90年代年化回报率高达20%。这一章我们通过解释期权的基本概念，会在文章最后给出Thorp教授套利的核心公式。
期权的核心是给出了一个非线性的、且有时间约束的金融结构。正是因为非线性的结构，才导致了Greeks这一系列概念和各种导数/积分的应用。下图是一个典型的long call option的payoff图。（为了简明，本系列只讨论股票期权。外汇和利率期权比股票期权更复杂，维度更多，后面有时间再写。）
图1 call option payoff
在Black-Scholes的世界里，核心的模型约束是：1）无套利；2）股票价格遵循几何布朗运动；3）可以连续对冲，可以买或者卖空的股票；4）波动率非随机。经典教材里（例如John Hull）的其他约束条件在实际应用中都是可以放宽，并且有比较简明的解析解。最后一个条件也可以放宽，我们下一章会回到这个话题。
BS公式的核心是波动率。我们会在下一章详细讲解波动率平面以及波动率模型。在实际应用中，一般只有场内的个股期权是美式期权，其他交易的品种均为欧式期权。美式期权提前行权的条件跟dividend有关，而且也没有简单显式解，在此暂时不展开论述了。
Put的价格可以根据put-call parity这个model independent的公式推出。
put-call parity里面含有vol这个变量的只有call和put的价格，所以call对于vol求导（vega）或者对于S求2阶导（gamma）或者对于时间求导（theta）所得到的结果与put的结果恒等。所以对于来说交易员如果能够完全对冲vol以外的变量，put和call对于他们是一样的。
Implied vol对于put和call是一样的，如果在Bloomberg终端上，在交易时间内看到OMON下面同一个strike同一个到期日的call和put的mid implied vol不一样，原因无非是：1）期权流动性差，到时put和call没有人套利或者没有同时交易；2）市场上的forward定价和Bloomberg模型有出入，这意味着股票的dividend或者implied borrow和Bloomberg模型有较大出入。
图2 SPX listed options(as of Feb 26 2016 COB): put和call implied vol基本一致
一个期权的风险是从Greeks的角度来看的，同时Greeks也能帮助交易员迅速的进行pnl attribution。Greeks从数学上来看就是期权价格对于不同参数的各阶导数/偏导数，而一个期权基于Greeks的pnl attribution实际上就是对于期权价格的一个泰勒展开。
需要注意的是各种Greeks基本都不是希腊人发明的名称，所以里面有非希腊字母……
V代表期权价格，S代表当前股价，T代表到期时间，σ代表implied vol。以下Greeks的显式解可以手算、数学软件符号微分或参考相关教材。
V: 期权价格V对于股价S进行泰勒展开，对于ATM(at-the-money) option，在forward价格F和当前股价S_0相差不远的情况下，可以得到一个近似速算公式V ~ 0.4×S×σ×√T。需要强调的是这个只是一个近似的速算，不能用这个公式来推导任意的Greeks，一个明显的缺陷是这个速算公式对S求二阶导是0，难道说ATM option没有gamma么？
Delta/?: ?=?V/?S。股价是期权价格最大的驱动因素，从BS公式里看得出Delta和In-The-Money probability（分别是N(d1)与N(d2)）非常接近，所以交易员一般用delta来描述期权ITM probability，所以delta越大，期权到期时ITM的可能性越大。?的单位是多少股，但在因为不同资产的期权?无法直接相加，所以在实际应用中计算头寸都是算所谓的$delta，$delta = ?×S，知道$delta和股价变动的百分比就知道在股价一阶导上的损益。
Gamma/Γ:Γ=??/?S=(?^2 V)/(?S^2 )。实际应用中使用的是$gamma，也就是每1%的股价变动带来的delta变动，用数学公式表示就是 $gamma = 0.01×S^2×Γ。所有线性的产品根据定义对于股价是没有二阶导的。要想对冲gamma，必须要用另一种具有非线性属性的工具，也就是说要对冲期权风险只能用期权，线性结构无法完美对冲期权风险。
Theta/Θ:Θ=?V/?T。公式计算出的时间价值是年化的，实际应用中一般使用的是每个calendar day的时间价值dollar theta($theta)，$theta = Θ/365。
Vega:Vega=?V/?σ。实际使用中交易员关心的是implied vol每变动1%（或者叫做1 vol point）带来的pnl变化，所以实际使用的dollar vega($vega)，$vega= Vega X 1%。
我们使用上面的Greeks，用%s表明股价的百分比变动，通过一些简单的恒等变换，可以得到以下一些简明的结论：
A.期权价格变动与股价变动的关系（Vanilla option基本可以忽略三阶导及以上风险）:
B.因为在BS模型中，我们的假设是连续对冲，所以整个option hedging portfolio的delta恒定为0，我们可以得到gamma和theta的直观联系（直接用公式也可以验证）：
$theta+50 ×$gamma × (breakeven vol)^2=0，
这里的breakeven vol实际上就是daily implied vol，因为如果实际每天的realized vol符合模型的implied vol，证明期权的delta hedging 可以完美复制期权的payoff，最终的pnl为0。根据implied vol的定义，如果$theta用的是per calendar day，breakeven vol就是 σ/√365；$theta用per business day来算，breakeven vol就是σ/√252(约σ/16）。这个公式也意味着gamma和theta的正负号永远相反。
C.Gamma和Vega的关系：
Vega= σ×S^2×T×Γ ，或 $gamma= $vega/(σ×T)
这个公式意味着gamma和vega的正负号一致；在相等vega的前提下，到期日越近gamma越大、implied vol越低gamma越大；在相等gamma的前提下，到期日越远或Implied vol越高，vega越大。
D.根据A)和B)，在一个delta neutral的option策略中，不考虑vega mark-to-market pnl前提下，
所以这个option with delta hedging的最终pnl是可以由路径积分来计算
公式里其中$gamma和%s都和当时的时间t以及当时的股价St有关。
这是一个非常重要的结论。这个公式告诉我们在一个期权上进行delta hedging，我每天实现的pnl跟当天股票的波动率的平方相对于公式里的implied vol的平方之差线性相关，这就是为什么gamma是期权交易员最看重的指标（vega更多和mtm pnl而不是realized pnl相关）。并且这里的波动率永远是以平方的形式出现（期权价格公示中依然），所以在BS世界里影响期权价格和对冲pnl的是方差。
E.从vega角度来看option with delta hedging的pnl可以用vega ×(σ_realized-σ_implied)来估算。
回到文章开头的话题，在Black Scholes公式出现以前并不是没有期权做市商，但是当时期权做市商其实和赌场的dealer没什么区别，我们可以想象一个期权定价的binomial tree或者trinomial tree模型，他的职责是给出一个赔率（股票价格的risk neutral terminal distribution），保证自己不输钱。他们也有deltahedging的概念，但是他们进行delta hedging是为了在平掉某个期权仓位前确保自己不会因为股价变动而输钱。Thorp发现Black Scholes公式之后，期权交易上升到了一个新的高度，期权可以相对精准的定价，同时波动率可以作为一个单独的参数来交易。60年代的美国可转债的内嵌的期权价值并没有被完全认识到，而且因为没有一个期权模型转债的价格很难精准定价，Thorp通过应用他自己发现的Black Scholes公式，可以发现转债内嵌的期权的implied vol是否远远低于或远远高于realized vol，之后通过delta hedging实现公式D)里的收益。
From Thorp, 2003:
To exploit these ideas and others, Jay Regan and I started the first market-neutral derivatives hedge fund, Princeton Newport Partners, in 1969. Convertible hedging was a core profit center for us. I had estimated early on that convertible hedging was a $100 million idea for us. In the event, Princeton Newport Partners made some $250 million for its partners, with half or more of this from convertibles. Convertible hedgers collectively have made tens of billions of dollars over the last three and a half decades.
另一个经典案例是2014年A股转债。大家都知道2014年的时候许多A股转债内嵌的期权价值接近于0，买转债的话只要债券不跌，相当于有一个免费的upside。但其实一个更好的策略是买入两地上市的公司的A股转债，使用港股来对转债的option进行delta hedging，套用公式D)，因为implied vol为0，实际上相当于一个只赚不赔市场中性策略。在中行转债的例子中，在股市启动前，A/H的股价和转股价相距不远（gamma不小），而且市场从6-10月，A/H的价格相差很小，所以用港股对冲是一个有效的策略，11月降准后，A股大幅跑赢H股，我们虽然对冲结果不完美，但是realized pnl与完美对冲比是更多的。这个trade的downside senario在于H股相对于A股上涨。
图3中银A/H股在A股启动后半年的表现 (橙色A股，白色港股)
图4中银A/H股波动率的表现 （橙色A股，白色港股）
参考材料
John Hull, Options, Futures, and Other Derivatives, 9th ed, 2014
John Hull应该是大部分国内学生入门的教材了，也是大部分国外商学院MBA和本科生使用的教材。从trader角度看这本书过于啰嗦，且实用性不强。如果完全没有接触过衍生品可以作为入门的读物。
Sheldon Natenberg, Option Volatility and Pricing, 1994/2014
这本书是外资投行新入门junior trader的圣经，老版本比新版本好。
Nassim Taleb, Dynamic Hedging, 1997
也是许多外资行交易员使用的参考书，涵盖面比Natenberg的书广，包含flow exotics（简单的结构化期权），同时也是数学属性比较强一本书，此书应该是Taleb在读博士期间写的。
Euan Sinclair, Volatility Trading, 2nd ed, 2013
一本交易员写的实用性极强参考书，是近几年的一本经典，全面涵盖了期权的定价、风险管理、交易，常读常新，可以作为参考书常备案头
Efficient Computation of Option Price Sensitivities Using Homogeneity and other Tricks
http://www.wias-berlin.de/preprint/584/wias_preprints_584.pdf
十几年前德国人写的一篇关于不同greeks之前关系以及显示解推导的paper，全篇都是优美的数学推导，而且是基于多元期权（多个underlying）的general solution。
"Black-Scholes" in Multiple Languages
http://www.espenhaug.com/black_scholes.html
一个诡异的北欧人给出的BS模型在不同编程语言下的实现，他自称最大的爱好就是收集各种期权定价的解析解，另外他这个网页上的漫画画风略飘逸……
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