为什么两个完全负相关金融资产（ρ=-1）可以得到无风险投资组合？

机姬 · 2018-10-17 22:30:55

给出数学证明和图像。

冰鉴之 · 2018-10-17 22:30:56

你问的是注册会计师-财务成本管理-投资组合的风险分散原理，相关内容。

简而言之，证券投资组合只要求补偿系统风险，而不像单项投资一样补偿可分散风险，β系数完全相反的两个证券刚好可以抵消系统风险，这样就可以称之为无风险组合了吧。
理论上计算去下:
【投资组合的风险分散原理】
　　1.投资组合理论
　　若干种证券组成的投资组合，其收益是这些证券收益以投资比重为权数的加权平均数（收益不变），但是其风险（标准差）不是这些证券风险（标准差）的加权平均数，投资组合能降低风险。
　　风险以标准差来度量，组合降低风险的标志是组合标准差的减少，表现为：组合的标准差＜组合内各资产的标准差的加权平均。
　　【示例】某投资组合由10种股票组成。这10种股票的期望报酬率相同，均为10%；风险（标准差）相同，均为5%。
　　由于组合的期望报酬率始终是组合内各资产期望报酬率的加权平均，显然无论如何安排10种股票的投资比重，权数（投资比重）之和始终为1，因此组合的期望报酬率始终是10%不变。
　　但由于组合的标准差（风险）通常小于组合内各资产标准差的加权平均值（5%），因此组合能够在不改变收益的前提下降低风险。
　　2.证券报酬率之间的相关性（共同变动程度）与风险分散
　　假设某投资组合由通用汽车公司和美孚石油公司的股票组成，投资比重各为50%，通用汽车公司和美孚石油公司股票的报酬率均受到原油市场价格变动的影响，有关情况如下：

　　可以看出，两家公司股票具有相同的期望报酬率和标准差（风险）。同时，两家公司股票报酬率的变动幅度相同，但变动方向相反，呈现完全负相关的关系。完全负相关的两支股票所构成的投资组合，期望报酬率没有改变，而标准差（风险）降低为0。
【推论1】
　　两种证券报酬率完全负相关（一个变量的增加值永远等于另一个变量的减少值），即相关系数＝－1时，存在一种组合能够使一种证券报酬率的变动被另一种证券报酬率的反向变动完全抵消，组合风险＝0，或者说风险被投资组合完全分散。
　　假设某投资组合由通用汽车公司和福特汽车公司的股票组成，投资比重各为50%，通用汽车公司和福特汽车公司股票的报酬率均受到原油市场价格变动的影响，有关情况如下：

可以看出，两家公司股票具有相同的期望报酬率和标准差（风险）。同时，两家公司股票报酬率的变动幅度相同，变动方向也相同，呈现完全正相关的关系。完全正相关的两支股票所构成的投资组合，期望报酬率没有改变，标准差（风险）也没有改变。
　　【推论2】
　　两种证券报酬率完全正相关（一个变量的增加值永远等于另一个变量的增加值），即相关系数＝＋1时，不产生任何风险抵消效应，组合风险不变（等于组合内各资产标准差的加权平均），或者说投资组合不产生风险分散效应。
　　【推论3】
　　完全负相关与完全正相关是证券报酬率相关性的两个极端，由此推出：
　　0≤组合风险≤不变
　　从理论上说，在收益率不变的前提下，构建投资组合的最差结果是风险不变（完全正相关），最好结果是风险为0（完全负相关）——理性投资者一定会选择投资组合。
　　【推论4】
　　现实中，不存在报酬率完全正相关或完全负相关的证券，即：
　　0＜组合风险＜不变
　　现实中，构建组合一定能够分散风险（非系统风险、可分散风险、特殊风险），但不能够完全消除风险（系统风险、不可分散风险、市场风险）。组合内证券种类越多，风险分散效应越强。
【结论】
　　证券组合的标准差（风险），并不是单个证券标准差（风险）的简单加权平均。证券组合的风险不仅取决于组合内各证券的风险，还取决于各个证券报酬率的相关性（起到相互抵消风险的效果）。

若：－1＜相关系数＜＋1，则：0＜组合风险＜不变，即：
　　相关系数越接近于＋1，风险分散效应越弱；
　　相关系数为正（正相关），相关系数绝对值越大，风险分散效应越弱；
　　相关系数越接近于－1，风险分散效应越强；
　　相关系数为负（负相关），相关系数绝对值越大，风险分散效应越强。
　　2）协方差
　　①公式：σjk＝rjkσjσk
　　②某证券与其本身的协方差等于该证券的方差
　【投资组合的风险计量】
1.投资组合报酬率的标准差
　　投资组合报酬率的方差：组合内各证券两两之间（包括某证券自己和自己之间）的协方差σjk（n2个），再乘以两者的投资比重AjAk，加总的结果。
　　2）协方差矩阵：组合内证券两两之间一共可得到n2个协方差，构成协方差矩阵。
　　以三种证券为例，协方差矩阵为：
　　σ1，1 σ1，2 σ1，3
　　σ2，1 σ2，2 σ2，3
　　σ3，1 σ3，2 σ3，3
　　沿矩阵对角线共有3个方差（即：某证券自己和自己的协方差），其它不在对角线上的协方差共有6个，且两两相等（如：σ1，2＝σ2，1）。
　【结论1】
　　对于由n种证券构成的组合，两两之间的协方差矩阵共有n2项，其中包括n个方差项和（n2－n）个协方差项。
　　【结论2】
　　协方差矩阵中，方差代表个别证券的风险，协方差代表证券之间的共同变动程度（相关性）。
　　随着组合内证券数量的增加，方差所占的比重越来越小，表明个别证券的风险对投资组合风险的影响越来越小，直至可以忽略不计；而协方差所占比重越来越大，表明投资组合风险主要决定于组合内各证券报酬率的相关性。
　　因此，充分投资组合的风险，只受证券之间协方差（即相关性或共同变动程度）的影响，而与各证券本身的方差（个别风险）无关。
　【投资组合的投资比例与有效集】
　　（一）机会集、有效集、无效集