高频交易的数学原理

在量化交易中，高频交易有着高大上的地位。但是伟人曾经说过：不管白猫黑猫，能赚钱的就是好猫，高频策略对比低频策略有什么优势呢？Marcos Lopez的著名大作《Advances in Financial Machine Learning》第15章给出了数学推导。
首先，这里以「Sharp Ratio」作为衡量一个交易策略好坏的标准。
这里的交易策略每隔一段时间就决策一次（决定是否下注）。下注之后，无论是看多还看空，时间段结束的时候都反向平仓，因此时间段结束的时候仓位为0，策略将再次决定是否下注。
每次下注后产生的盈亏的随机变量称为X，这个策略每年共提示n次下注。这n次提示和X都服从IID（Independent and Identically Distributed）。
一、对称盈亏

先考虑对称盈亏的情况，即每次下注有p的可能性产生盈利 g，且有1-p的可能性产生亏损 -g。显然实际情况不会如此对称，不过这里先简单化假设。
p的含义

如果策略是一个二元分类器，这里的p则可以理解为二元分类器的Precision。

策略每隔一段时间需要决策的时候，未必决定下注，对应二元分类器，它提示Positive就是要下注，提示Negative就是不下注。所以上式中的分母就是它所有的Positive提示，分子是正确的Positive提示。
当正确地提示下注时（True Positive），会产生盈利g；
当错误地提示下注时（False Positive），将产生亏损-g；
当提示不下注时（Negative），无论是否正确，都不产生盈亏。
推导过程

每次下注，期望收益为：

每次下注的收益方差为：

把(1)和（3）代入（2），可得

由于X服从IID，年化收益方差 = n * Var(X)，当无风险利率为0时，Sharp Ratio为：

可以看到，即使p仅仅略>0.5，只要n足够大，其Sharp Ratio都会变得很大。相反，如果策略很犹豫，总是不肯下注，那么需要足够大的p才能达到比较大的Sharp Ratio。
这就是高频交易优势的数学原理。
二、非对称盈亏

假设每次下注有p的可能性获得盈利g，且有1-p的可能性产生亏损h，同样的方法可以得到Sharp Ratio为：

当 h = -g，即对称盈亏时，可以看到(5)和(6)是一样的。
隐藏的危机

上述推导过程都是假设X服从IID，现实世界不会那么完美。但是即使交易策略的盈亏服从IID，高频交易仍然有危险的地方。
p是策略回测时得出的样本统计值，实际的p是未知的，而p只要稍有变化，由于n较大，Sharp Ratio都可能剧变。另一方面，g和h是训练策略时定下的参数，虽然可以通过调整g和h使得每次下注的结果更有把握，但却可能造成策略更犹豫（不肯下注），那么n就会变小，策略就从高频变成低频。
以上是《Advances in Financial Machine Learning》书中的论述。个人观点：高频交易几乎成为量化交易的代名词，主要原因可能不是它的效果比低频好，而是它能充分发挥计算机的算力优势，无论是训练过程还是执行交易过程，计算机在高频方面有天然的优势，人脑无法踏入这个领域。而如果是低频策略的话，人脑也能生成，未必需要用到计算机。
至于效果，就等时间来证明一切吧。

期权匿名回答 · 2022-5-5 22:27:51

这点数学，真称不上“数学原理”。搞量化的就瞎玩吧

期权匿名回答 · 2022-5-5 22:28:31

真没必要说得这么复杂

期权匿名回答 · 2022-5-5 22:28:59

恰恰相反，说的太简单了

期权匿名回答 · 2022-5-5 22:29:16

内容是很简单，但和他想要表达的意思来说，我感觉是过于复杂了，这部分内容用大白话来讲可能更合适。这篇文章就属于说了些什么但又什么都没说。

期权匿名回答 · 2022-5-5 22:30:03

大部分是翻译那本书里的内容，不是原创

期权匿名回答 · 2022-5-5 22:30:20

大部分是翻译那本书的内容，不是我原创

期权匿名回答 · 2022-5-5 22:30:55

不是在高频更能发挥计算机的优势，真实的逻辑是，只有在高频，计算机才有优势。低频量化，没有靠谱的。

期权匿名回答 · 2022-5-5 22:31:22

高频的本质无非就是：把每笔交易很小的赚亏pg+(1-p)h通过增加交易次数放大sqrt(n)倍而已。

Marcos Lopez故弄玄虚，写得太复杂。

期权匿名回答 · 2022-5-5 22:31:55

这种教材里的现在trading firm基本没多少在用

期权匿名回答 · 2022-5-5 22:32:05

是的，他老是发明一些数学概念和符号，弄得很难理解

期权匿名回答 · 2022-5-5 22:32:15

数学推导太多假设，实际中这些假设都不成立，那么结果就差很远了。

高频交易的数学原理

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