交易与二项式定理

奇怪的赌局悖论: 为何赌神、赌圣、赌侠都爱梭哈!? (Show Hand)

文/By:：牧清华

在赌神系列电影裡，常常看到最关键的一刻，Show Hand!! 主角很帅气地把檯面上所有筹码推出去，将剩下的牌一次发完，一次定输赢，多帅气啊!

在实际生活裡，你一定不可能这样做，万一输了就全没了! 而凯利公式也告诉我们确实如此，最好的下注方式是根据机率、赔率计算出来的凯利比例下注，只有当100%胜率时才会全押。

然而，下面我们有一个推论，告诉你把把全押(100%)，Show Hand才是最好，似乎证明赌神不愧是赌神，Show Hand才是王道!

考虑一场赌局胜率50%，赔率为2。(期望值为50%*2 50%*(-1) = 0.5)

假设玩1次，每次下注f 比例，则玩1次后的期望值为

50%*(1 2f) 50%*(1-f) = 1 0.5f

当f=100%时，玩1次赌局有最大期望值1.5。

让我们再看玩2次的case。每次下注f 比例，玩2次后的期望值计算如下。

根据二项式定理，玩2次的输赢共有下面三种组合：

赢0次，输2次的机率为0.5^2，押f 比例资产变为(1-f)*(1-f)

赢1次，输1次的机率为2*0.5^2，押f 比例资产变为(1 2f)*(1-f)

赢2次，输0次的机率为0.5^2，押f 比例资产变为(1 2f)*(1 2f)

将上面三种组合的资产乘上机率，可得期望值为(1 0.5f)^2。

当f=100%时，玩2次赌局有最大期望值1.5^2。

假设玩3次，每次下注f 比例，玩3次后的期望值计算如下。

根据二项式定理，玩3次的输赢共有下面四种组合：

赢0次，输3次的机率为0.5^3，押f 比例资产变为(1-f)*(1-f)*(1-f)

赢1次，输2次的机率为3*0.5^3，押f 比例资产变为(1 2f)*(1-f)*(1-f)

赢2次，输1次的机率为3*0.5^3，押f 比例资产变为(1 2f)*(1 2f)*(1-f)

赢3次，输0次的机率为0.5^3，押f比例资产变为(1 2f)*(1 2f)*(1 2f)

将上面四种组合的资产乘上机率，可得期望值为(1 0.5f)^3。

当f=100%时，玩3次赌局有最大期望值1.5^3。

依此类推....这太神奇了，似乎不管玩几次，把把全押的期望值才会最大。

事实上若赌局的机率为p，赔率为b，有兴趣的读者可自行推导一下，玩T次后期望值为

(1 f [p(1 b) - 1])^T

一样当f=100%时，上述式子有最大值。

注意到要让上式最大化，跟T无关，只要p(1 b)-1>0，也就是期望淨利是正，f 就要选100%。

这意味着，只要是有利可图的赌局(也就是p(1 b)-1>0)，那怕是只有一点点微利，你都要将你的筹码全押下去。

因此，我们得到一个让众人跌破眼镜的结论: 把把全押，才是王道。圣盃啊!

现在，下面两个选项让你选，你选哪一个?

1. 这样的结论当然是错的，但是上面的逻辑推演似乎没有瑕疵，有人可以明确指出问题在哪吗?

2. 这的确是一般人错误的认知! 也就是只要有利可图的赌局，那怕期望淨利是一点点微利，你都该把筹码全押下去!?

许多人会以为这问题很简单。事实上这个问题曾经让牧清华困惑了很久! 看似简单又明瞭的推演，却违反了我们的认知，偏偏又说不出哪裡有问题!

神术 · 2017-9-5 15:03:24

这推论我感觉满满的瑕疵。。光考虑期望，不考虑方差的么？还有实际情况中每一轮的概率都是不一样的，偏差也会很大。

穆沙 · 2017-9-5 13:29:50

下载来参考看看.

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