不请自来。本答案很多部分非本人见解，不喜勿喷。
1. 事实上，不只是数学，任何一门学科最重要的都是培养一种思维方式。那对于数学系的学生来说，就是数学的思维方式。比如遇到问题联系以前解决过的问题看看可不可以改进一下解决当前的问题，这就是一种数学的思维方式，在生活中也很有用。另外，数学的学习能培养你严谨的作风和遇事理性地思考，这都是学习数学给我们带来的外部效应。
2. 超前学习很重要，但建立在你已经很好地掌握了应该掌握的东西的基础上。我来举个例子吧：我们学校数学系Math596是一门研究生的复分析课，先修课程要求是高等微积分。但是由于复分析广泛的应用，很多只学过微积分的人也会来上，但是很多最后都坚持不下来。所以：一定要学好该学的课。可以再举个我自己的例子，这学期学拓扑，看了一本Dixmier的General Topology，用很多数学分析里的例子来讲拓扑里面的概念，让我受益匪浅。但是如果没有数学分析的基础，是无法完全掌握这本书的精髓，更没法很好的领会拓扑里面的概念。
3. 这是我在另一个问题里的回答：The only way to really learn this material is by doing a great deal of hard exercises (mostly from Hartshorne): lots will be assigned every week.
这段话是Karen Smith在我们学校Math 631（代数几何）的course page上写的
结合我自己的经历：我觉得答案是这样的：一定要做题，但是上限是你理解了概念。一旦你理解了概念，千万不要再去做更多的题。
昨天考Putnam，中午系里一起吃午饭，Harm Derksen（此君极为厉害，是Putnam命题委员会的，去年最难的一道题就拜他所赐）和我们几个中国人坐在一起，他说了一句话，我印象很深：Putnam is interesting, but it is silly to spend plenty of time on it.
DeBacker也和我们说过：I can't prove the inverse function theorem, but I know how to prove it.
数学最重要的是思路，做题是为了让你掌握一类问题背后的数学思维。
最后举个例子：小平邦彦当年抄了三遍Van Der Waerden的Algebra，掌握了近世代数。许许多多中国大学数学系的学生比小平先生更刻苦，做了很多的习题，还是没有学懂抽象代数。我也曾思考过这个问题，中国大学数学系的学生更刻苦，每学期的课更多，做的题更多，为什么一到PhD阶段对美国学生就没有优势了？知道我来美国，才发现，这边的作业是教会你思考的方式而不是解题的技巧。他们可以在作业中让你证明拉格朗日余项，Sylow定理，Poincare Lemma，而我们的作业是什么呢？所以说：做题时一定要想明白为什么要做题。
逻辑较为混乱，想到哪说哪了，抱歉。不赞同者欢迎理性讨论
5. 讨论很是重要，我们数学系会有下午茶讨论，让各种人互相交流。一起学习一本很难的书效率很高。想当年Anosov, Arnold, Sinai他们就是这样互相学习，都成为了数学大师。下面这段话是UIUC数学系教授给自己PhD学生的话：Hartshorne's book Algebraic Geometry is a classic, covering algebraic geometry via the theory of schemes. Students who are well-versed in this book, with their knowledge supplemented by examples from classical algebraic geometry, are generally ready to begin research with me in algebraic geometry. Many of the important ideas in the book are contained in the exercises. I encourage all students interested in mastering algebraic geometry to try to do all of the exercises (but be warned that some exercises are unsolved problems). Forming study groups and working together is an efficient way to do this. Students will do best with this book if they already have facility with commutative algebra. Hartshorne is usually used for a year-long Algebraic Geometry sequence, beginning in fall semesters. I am tentatively scheduled to teach the course using Hartshorne's book during the 2014-2015 academic year. The course number has not yet been determined. |
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