哪些数学课程让你改变对事物/世界的思维/观点/理解?

这学期的微分几何期末预习时觉得说不出的有趣，主要是关于高斯总曲率，球与平面的本质不同。各位聊聊你们的数学学习中哪些内容让你们觉得眼前一亮，或者改变你的思维或观点的balabala，让我这个小学渣扩展下视野~

匿名用户 · 2018-9-22 00:58:19

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张辰LMY · 2018-9-22 00:58:18

双曲几何。举两个例子：
一是几何公理化，使得对人云亦云的事情有独立判断。非欧几何使我明白，个别前提条件看似很少，也不起眼，影响却很大。

二是谷山-志村猜想的几何表述。复椭圆曲线拓扑上是一个环面，可以利用欧氏平面C单值化椭圆曲线（用椭圆函数）。谷山-志村猜想断言还可以使用双曲平面H单值化椭圆曲线（用模函数）。作为类比，可以设想单位圆可以分别被有理函数和三角函数单值化。从此，我在现实生活中发现一种好的解决问题方法时，我反而更认真慎重，因为很可能存在另一种更巧妙的方法。

补充：分式变换也称莫比乌斯变换，是双曲平面H上的运动群，这些运动群里有一类特殊的离散子群叫同余子群，模函数是关于这种同余子群不变的对称函数，是一种极为特殊的亚纯周期函数。

弘毅君 · 2018-9-22 00:58:17

随机过程吧，实实在在的应用性的高深课程。上马尔科夫链的时候脑子里尽是小学时和小伙伴猜拳的情景，后来上了鞅论又觉得猜拳时候想那么多其实也没卵用。再后来学停时定理，突然庆幸家长不懂这玩意，不然要是会估算一下等我赢了这把再关电脑的概率估计要把我往死里打(_)

十一太保念技校 · 2018-9-22 00:58:15

代数

这是我第一次面对抽象对象的课程。也就是说，你不需要知道具体的对象是什么，只需要研究一些运算规则，就可以得到一系列统一的性质。

举个栗子，Kahler manifold上三个算子恰好构成sl2-triplet，于是cohomology上就有 sl2 action，可以分解成irreducible sl2 module。就是Lefschetz decomposition。

朱逸之 · 2018-9-22 00:58:14

我来偏个题。这个不算数学课程，属于码农学中的软件工程。

写代码的时候都说要避免重复，但是重复分两种，physical duplication （物理重复）和 logical duplication（逻辑重复）。码农学教育我们，逻辑重复不要有，但是物理重复是可以有的。也就是，如果两块代码没有逻辑重合，只是长得像，不要硬把他们往一起简化。

我最近把这个思维用在了现实中，大大的改进了我的生活。
我有一个mp3播放器，上面有两种音频 --- 古典音乐（打盹时听），和软科学公开课（生物心理啥的，干家务时听）。以前每天都要在这两个之间互相切换，烦不堪言。某天突然意识到这两件事其实是一个physical duplication（物理重复）, 两者之间并没有逻辑关系，不应该因为他们同属于 “听音频”，就把他们往一起凑。于是又买了一个不同颜色的mp3播放器, 现在只要拿起正确的播放器, 按“播放”键，就可以无压力继续了。这个思维还用在了电子书上，也分了小说和软阅读，也是瞬间清爽了很多。

Yuhang Liu · 2018-9-22 00:58:13

谢邀。
不算数学课程的结论，就是动力系统中混沌性、敏感依赖这些东西，还有分形里面的一些东西，让你感觉就算把什么东西都告诉你（up to some error），你还是不能完全确定以后的发展趋势，让人对数学能做的事情产生一种无力感～

王思伦 · 2018-9-22 00:58:12

有个关于伦敦出租车司机的笑话：某机构调查发现，交通事故的数量和司机穿大衣表现出很强的正相关性，专家推测——开车时穿大衣容易阻碍司机的活动，进而导致交通事故的发生。于是伦敦颁布新法律，禁止司机穿大衣。
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后来，另一项研究发现，人们喜欢在下雨的时候穿大衣。

这个故事告诉我们：相关性不等于因果关系（Correlation $\ne$ Causation）

人们很多时候只看这两个变量的时候，主观认为：穿大衣-->交通事故

实际上却可能是：下雨-->穿大衣 同时 下雨-->交通事故，

而穿大衣和交通事故仅仅是伴随性的，或者说：在下雨的前提条件下，穿大衣和交通事故两件事情是独立的。即：P(交通事故 | 穿大衣，下雨) = P(交通事故 | 下雨)

学习了概率论和统计学后，会对市面上很多所谓的“专家研究调查”表示怀疑，比如吃某食物有助于预防某种癌症的发生。且不说这些统计研究的采样方法是否科学，很多人把相关性等同于因果关系。而实际情况可能是：生活习惯比较健康的人喜欢吃XX食物，而这类人的其他健康生活习惯降低了癌症的发生概率。所以那些乌七八糟的研究结果请不要轻信。（However, 吸烟致癌这个确实是被验证过因果关系的，请相信）

假设你是某个城市的市长，看了一项研究发现一座城市的生产总值和桥的数量有强烈的正相关性：

于是你认为：桥梁的数量可能会加速城市交通运转，进而提高生产总值。老子真是太聪明了！一定要修建多多的桥梁！每家前面都得能看到桥，建设成钢铁桥梁之城！

建完后你傻眼了，生产总值不升反降了。为啥？
因为如果你把完整的图画出来其实是这样婶儿的——

对每一个城市而言，桥的数量和GDP有一条曲线，而它其实是负相关。。。

这个故事告诉我们，学好概率论和统计学还是有好处的。嗯。

陆zz · 2018-9-22 00:58:11

最近感觉非常有意思的东西,感觉以后要好好学习：
1.离散化，把PDE离散化,定义离散的Laplace算子和薛定谔算符,解离散PDE，然后有一堆定理类比,比如极值原理,Dirchlet原理等等
2.用概率论解决一些不需要用概率语言表述的问题，比如级数求和以及组合问题，还有奇怪的极限
3.p-adic 分析,然后类似地建立泛函分析,积分等等奇怪的东西
4.对变换或者说群建立积分(没错就是Lie群),对变换取平均，比如说 SO(n)

是个紧Lie群，取上面一个标准化的不变积分，然后对任何一个 $\mathbb R^n$ 上光滑函数

,令 $\overset{ \_ }f(x)=\int_{SO(n)}^{}f(Px)dP$ ,我们就真正实现了取平均的想法，特别地，对于调和函数，取平均之后是个常数。
5.Minlor怪球,示性类依赖于微分结构

就是感觉能够看到前人有趣的想法，是一件比较开心的事……自己有一种被shock到的感觉。

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K.Zhang · 2018-9-22 00:58:10

范畴论。
重复：看我签名，范畴论。
再重复：同意 chuo Chan，范畴论。
我比较特殊的一点是，刚刚接触微分流形的时候，用的是Serge Lang的书，于是就稀里糊涂地学了Category, 而很喜欢的一位教授即使讲抽象代数，都是会讲Category的。从某种程度来说，范畴可能对我来说就是半个数学，而刚刚接触的时候的感觉就是“原来世界还可以是这样的啊！” 也就是那时吧，发现心中模模糊糊地感觉到homomorphism，continuous function, homotopy, 都是一样的，而居然有人已经给了它们一个名字：morphism。也就是那时候，养成了能用交换图表不用别的东西解题目的恶习。也就是那时候，我明白了大一时，站在数学系lounge Samuel Eilenberg（范畴论始祖，Columbia教授）雕像前看到的一位学长画的那些箭头。
其实我觉得，范畴论是数学里最像哲学的一部分。

另外：其实想说，如果真的有谁能看懂望月新一的东西，也许是那个。

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