复变函数中的可去奇点、极点、本性奇点是什么意思呢？请通俗易懂地解释下？

有关回应 · 2021-5-14 23:25:25

有关回应 · 2021-5-14 23:25:24

可去奇点：
函数在该点存在极限，如sinz/z在0处

极点：
函数在该点处趋向于无穷
m阶极点表示（（z-z0）∧m） f（z）在z趋近于z0时存在极限
如sinz/（z∧2）是0处的一阶极点

本质极点：
函数在该点处不存在极限
如e∧（1/z）在0处

以上属于各种奇点的特征，这些奇点的划分本质上来源于函数在该点洛朗展式，也可以通过洛朗展式的系数来区分，所以最好先了解一下洛朗展式

感谢题主~看到这个问题终于提醒我去做复变了╮(╯▽╰)╭

有关回应 · 2021-5-14 23:25:23

说下我自己的理解
可去奇点：在平面上趋近奇点的过程中，输出值都趋近于某个确定的复数z。想象上就是对于奇点附近的点经过变换后，都会分布在z附近。
极点：在平面上趋近于奇点的过程中，输出值都往无穷远处跑，越靠近奇点，离圆心越远，可以想象成输出值逐渐靠近复球面的无穷远点
本性奇点：在平面上趋近于奇点的过程中，输出值会散布在整个复平面，不同的趋近方式，会得到不同的极限。就像一个黑洞白洞一样，吸收趋近奇点的所有点列，在变换后的复平面上吐出的点是全体复数。

有关回应 · 2021-5-14 23:25:22

我的理解非常简单：可去说明，只要补充定义就变得完美了，属于明人不用暗说，响鼓不用重锤的那种；极点呢，要修饰一下（乘上一个式子），才有极限，说明需要一定的改造才能变成“好函数”；本性极点呢，属于江山易改，“本性”难移的，无论你乘什么，它都没法取到极限，属于无可救药型的。这个本性用的真是好啊，老一辈数学家用词真的很恰当！

有关回应 · 2021-5-14 23:25:21

复函数
在
处是奇点，就是说在
的某个去心邻域
内解析。你可以理解为它在这个点暂时没有定义。

孤立奇点的三种分类：可去奇点，极点和本性奇点。你可以用它的等价定义去理解：

1. 可去奇点，等价于
存在有限。换句话说，你可以补上这个点，使得新得到的函数在
依旧是解析的。也就是说这个点是可以定义的。

2. 极点，等价于
. 换句话说极限可以算是有的，不过是无穷了。当然一般复值函数都不考虑无穷的。

3. 本性奇点，等价于
不存在。换句话说即使加上了无穷，你也无法去定义这个点的值使得得到的新函数连续。事实上由皮卡定理（大定理），在
某个去心邻域
内函数将取得所有可能的复数值，最多只有一个例外。

你还可以进一步结合洛朗级数去理解。

复变函数中的可去奇点、极点、本性奇点是什么意思呢？请通俗易懂地解释下？

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