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BS 模型简介
BS 模型作为期权定价领域的开山之作，属于经典且一直没有落伍的，但是在BS 模型的一些基本假设不满足的情况下(特别是关于波动率的假设)，就需要进行修正，其中一种修正方法是基于BS 模型的改进：PRACTITIONER BLACK-SCHOLES 模型和GRAM-CHARLIER 模型是两种常见且有意义的改进。
PBS 模型
Practitioner Black-Scholes 模型主要假设隐含波动率为行权价和剩余期限的确定函数，即引进确定性波动率函数（DVF）方法来对隐含波动率进行建模。通过实证验证，利用PBS 的确可以获得更好的波动率曲线、曲面和期限结构的刻画。
GRAM-CHARLIER 模型
G-C 模型将收益率展开到更高阶矩，将偏度和峰度引入期权的定价，尽管在某些严重价外(虚值)期权的定价上有一些偏差，但是瑕不掩瑜，偏度和峰度的引入对于更好的刻画标的资产的波动，尤其是在价格波动较大时，是很有意义的，对于期权价值的修正液比较大。
附录
相对于简单的B-S 公式的结论，其推导方法都代表了金融工程的思想。因此B-S 公式的假设，推导和改进比简单的两个公式有意义得多。
目录索引
前言..................................................................................................................................... 4
一、BSM 模型的前辈 ......................................................................................................... 4
1、BACHELIER 公式 ..................................................................................................... 4
2、SPRENKLE 公式，BONESS 公式和SAMUELSON 公式.............................................. 5
二、BLACK SCHOLES MERTON 模型的假设和介绍 ....................................................... 6
1、BSM 模型的假设 ................................................................................................... 6
2、BSM 公式的一种推导 ........................................................................................... 6
3、BSM 模型的局限性及其改进................................................................................. 8
二、PRACTITIONER BLACK-SCHOLES 模型 .................................................................. 9
1、PBS 模型描述 ....................................................................................................... 9
2、模型实证 ............................................................................................................. 10
三、GRAM-CHARLIER 模型 ............................................................................................ 11
1、GRAM-CHARLIER 模型介绍 .................................................................................. 11
2、GRAM-CHARLIER 模型（看涨期权定价）推导 ..................................................... 11
3、GRAM-CHARLIER 模型下的近似隐含波动率公式 .................................................. 13
4、模型的实证 .......................................................................................................... 13
附录一：BSM 公式的推导 ................................................................................................ 14
1、鞅(MARTINGALE)方法 ........................................................................................... 15
2、二叉树方法（COX-ROSS-RUBINSTEIN BINOMIAL MODEL） ................................... 16
附录二、累计量（CUMULANT） ..................................................................................... 17
附录三、GRAM-CHARLIER 展开级数 ............................................................................. 18
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