期权二叉树模型

[h3]风险中性定价原理[/h3]

【案例8-5】假设X公司的股票现在的市价为25元。有1股以该股票为标的资产的看涨期权，执行价格为26.04元，到期时间是6个月。6个月以后股价有两种可能：上升33.33%，或者降低25%。无风险报酬率为每年4%。
【解析】
期望报酬率=2%=上行概率×33.33%+下行概率×（-25%）
2%=上行概率×33.33%+（1-上行概率）×（-25%）
上行概率=0.4629
下行概率=1-0.4629=0.5371
期权6个月后的期望价值
=0.4629×7.29+0.5371×0≈3.38（元）
期权的现值=3.38÷1.02≈3.31（元）
[h3]期权二叉树模型[/h3]

参考阅读：反复利用风险中性定价原理推导期权二叉树模型的定价。
根据教材例题，S0=50，X=52.08，现在把6个月分成两期，每期3个月，每期股价的变动有两种可能：上升22.56%或下降18.4%，无风险报酬率为每3个月1%。

第0期（现在）的计算
C0 = (Cu×0.47363+Cd×0.52637)/(1+1%)
= (10.8×0.47363+0×0.52637)/(1+1%)=5.06
[h3]例题1[/h3]假设甲公司的股票现在的市价为20元。有1份以该股票为标的资产的看涨期权，执行价格为21元，到期时间是1年。1年以后股价有两种可能：上升40%，或者降低30%。无风险报酬率为每年4%。拟利用复制原理，建立一个投资组合，包括购进适量的股票以及借入必要的款项，使得该组合1年后的价值与购进该看涨期权相等。
【要求】
（1）计算利用复制原理所建组合中股票的数量为多少？
（2）计算利用复制原理所建组合中借款的数额为多少？
（3）期权的价值为多少？
（4）若期权价格为4元，建立一个套利组合。
（5）若期权价格为3元，建立一个套利组合。
【答案】
（1）上行股价=20×（1+40%）=28（元）
下行股价=20×（1-30%）=14（元）
股价上行时期权到期价值=28-21=7（元）
股价下行时期权到期价值=0
组合中股票的数量（套期保值率）

（2）借款数额=

（3）期权价值=投资组合成本=购买股票支出-借款=0.5×20-6.73=3.27（元）
这里也就是说你借款6.73,然后购买0.5数额的股票，等到六个月之后的收益跟你现在花3.27买一份这个股票的一份看涨期权到时候获得的收益是一样的。
（4）由于目前看涨期权价格为4元高于3.27元，所以存在套利空间。套利组合应为：出售一份看涨期权，借入6.73元，买入0.5股股票，可套利0.73元。
（5）由于目前看涨期权售价为3元低于3.27元，所以存在套利空间。套利组合应为：卖空0.5股股票，买入无风险债券6.73元，买入1股看涨期权进行套利，可套利0.27元。
[h3]例题2[/h3]假设甲公司的股票现在的市价为20元。有1份以该股票为标的资产的看涨期权，执行价格为21元，到期时间是1年。1年以后股价有两种可能：上升40%或者降低30%。无风险报酬率为每年4%。
【要求】利用单期二叉树定价模型确定期权的价值。
【答案】