期权估值的复制原理

[h3]复制原理[/h3]

复制原理即构建一个组合，使得无论标的资产价格如何变动，该组合的未来现金流和期权的未来现金流一毛一样，该组合就是对期权的复制。既然两者现金流一样，价值必然一样，该组合的投资成本就应该等于期权的价值，否则会出现无风险套利。
需要记忆的地方，首先是套期保值比率，也就是要购买多少股票。(Cu-Cd)/(Su-Sd)，就是购买股票的数量，称为对冲比率（hedging ratio)，用H表示。

损资组合的成本（期权价值）=购买股票支出-借款数额
购买股票支出=套期保值比率×股票现价=H×S0

所有公司c都代表期权，s代表股价，u和d分别表示股价上涨和下跌。
【案例8-4】假设甲公司的股票现在的市价为25元。有1股以该股票为标的资产的看涨期权，执行价格为26.04元，到期时间是6个月。6个月以后股价有两种可能：上升33.33%，或者降低25%。无风险报酬率为每年4%。拟建立一个投资组合，包括购进适量的股票以及借入必要的款项，使得该组合6个月后的价值与购进该看涨期权相等。
【解析】设当前股票价格为S0，上升后股价为Su=u×S0，下降后股价为Sd=d×S0，其中u为上行乘数，d为下行乘数，u=1.3333，d=0.75，S0=25。由于执行价格X=26.04元，到期日看涨期权的价值分布为，Cu=MAX（0，Su-X）=MAX（0，25×1.3333-26.04）=7.29
Cd=MAX（0，Sd-X）=MAX（0，26.04×0.75-26.04）=0
根据复制原理，假设购买H股股票，则：
H×Su-借款×（1+r）=Cu（1）
H×Sd-借款×（1+r）=Cd（2）
则联立（1）和（2），则H=（Cu-Cd）÷（Su-Sd）
=（7.29-0）÷25×（1.3333-0.75）=0.5
借款数额=价格下行时股票收入的现值=（0.5×18.75）÷1.02=9.19（元）
期权价值=投资组合成本=购买股票支出-借款=H×S0-借款=0.5×25-9.19=3.31（元）