来源：余先生Coogee
作者：余先生Coogee
作者按：
【4月20日，出现原油期货合约价格为-40.32，那么它的期权价格怎么计算？你算对了吗？Bachelier模型用对了吗？】
4月20日，NYMEX5月美国原油合约每桶负40.32美元，由此引发了许多业内人士热议“标的价格为负的期权价格怎么计算”，确实很有意思，下面就所问所见，讲几点重要的，长话短说。
一、 标的价格S为负时，期权价格怎么计算？讲到期权定价，任何一个交易员或做市商都会使用Black-Scholes（B-S）定价公式。而B-S公式中要求标的价格为正（需取对数lnS）！故有此热议。怎么办？人们想到了法国的数学博士Bachelier在1900年的学位论文中的模型(Bachelier模型)，该模型“得到”的定价公式无需要求S为正。有朋友发的信息显示，美国的CME以快速动作使用了Bachelier价格。
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其实，当标的价格为负，只要建立一种允许标的价格为负值、并符合市场逻辑的模型即可，不一定非要用Bachelier模型，就像Vasicek处理负利率模型一样。只是Bachelier为最早提出一种定价模型的人而已，所以CME现在选择回头使用百年前的模型（要知道，Bachelier模型的假设其实是非常不合理的：假设股票期望价格以绝对增量进行增长），相信会有很多其他允许负值的定价模型出来或在使用中。但是，对于这两天热议的Bachelier定价模型，看到了不少“误解”。
二、Bachelier模型用对了吗？——这是重点Bachelier使用的模型，假设标的服从一般的Wiener过程，直到60多年后，这一工作才得到以Samuelson(1965) 为代表（还有Sprenkle,1961；Boness,1964）人物的重视，并进一步完善（Samuelson在这方面的工作应该说远超前B-S两人，甚至B-S的结果是老萨的特列。学科发展过程中的“必然性”（二）——Black,Scholes & Merton的“期权定价模型”）。下面公式5、4是比较流传的Bachelier定价公式。
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两点说明：
（一）正常情况下，Bachelier模型很不靠谱——通过与B-S价格结果比较
（1）上文中已提过Bachelier公式的弱点：假设股票将来的期望价格以绝对增量进行增长的。意味着股票价格无论在高位还是低位段，都以同样数值的绝对增长，显然是不合理的。
（2）对于平值期权（股票价格与行权价相等），Bachelier价格永远不变的（下图计算结果亦可发现）。
（3）进一步，还可以通过与B-S公式计算的价格进行对比，并解释。
考虑看涨期权，由于B-S假设标的价格S服从几何布朗运动，即模型1（GBM，可以粗俗地理解成“股票的相对增长率为r”），而Bachelier模型假设S服从算术布朗过程，即模型3（ABM，理解成“股票的绝对增长为r”）。如果对比一下Bachelier公式与B-S公式的计算结果，会发现一些现象：当股票价格大于1时，Bachelier价格4低于B-S价格2；反之相反；
下图计算了两个看涨期权价格。左侧：标的股票价格为S=5>1时，Bachelier价格为0.1392，远低于对应的B-S价格0.7116；右侧：股票价格S=0.51时，B-S采用的股票未来价格自然要高于Bachelier使用的价格，B-S公式得到的期权价格要高于Bachelier期权价格。而当S=0.5 |
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