期权书钞：《动态对冲》与delta优化

源自：上海证券报

你或许知道《黑天鹅》、《反脆弱》等畅销书的作者纳西姆·塔勒布，其实是一位经验丰富的金融衍生品交易员，然而你可能不了解，他还是BS公式的坚定批评者。塔勒布与默顿本人曾有几番纸上交锋，甚至发表诸如“为什么我们从来不用BS公式（Why We Have Never Used the Black-Scholes-Merton Option Pricing Formula）”之类从标题来看就不留情面的论文。对此，BS公式的捍卫者还以论文如“为什么我们总是使用BS公式（Why We Have Always Used the Black-Scholes-Merton Option Pricing Formula）”。坊间还有传言，默顿曾将塔勒布的文章作为习题集布置给学生“大家来找茬”。

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然而，至少在《动态对冲：管理普通期权与奇异期权》一书中，塔勒布承认在实务之中，使用简单而成熟的BS公式并适度调整改进，好于选择一个新颖但更复杂的公式，毕竟前者或许尚算“已知的未知（known unknowns）”，后者则是“未知的未知（unknown unknowns）”了。对于投资者而言更有价值的是，塔勒布在书中列示了一些可供参考的调整方法。在这里，我们介绍塔勒布对于delta的思考和调整。
　　
投资者都熟悉delta的定义：

Delta=F/U
　　
即衍生品价格F相对于标的资产价格U的一阶导数。通常而言，delta表示与标的资产价格变动对应的风险敞口，可以用以计算中性对冲所需的标的资产数量。然而，在交易中简单地按delta进行对冲，或认为守住了delta限额就管住了风险，可能带来较大的问题。试以下面两个例子说明。
　　
例1：使用delta衡量风险的问题
　　
一名交易员买入1000张认购期权，另一名卖出1000张认沽期权，假设当前两笔交易的delta是相同的，我们是否可以据此认为它们的风险程度也一致呢？画一下损益图就可以发现，一旦标的价格偏离当前位置，两笔交易的风险将大相径庭。当标的价格上涨时，买入认购交易将带来不断增加的盈利，而卖出认沽交易的盈利将趋近于权利金金额。更大的风险在于标的价格下跌，此时买入认购交易最多损失权利金，而卖出认沽交易的损失将远胜于买入认购。
　　
例2：根据delta进行中性对冲的问题
　　
假设一名交易员持有如下头寸：买入100万美元的行权价为96、一个月到期的欧式认购期权，合约delta为0.824，即总计买入82.4万美元delta。同时，卖出100万美元的行权价为104、一个月到期的欧式认购期权，合约delta为0.198，总计卖出19.8万美元delta。因此，该交易员的总delta为62.6万美元。按照传统方法，需卖出62.6万美元现货来进行对冲。表1展示了进行上述对冲后的资产组合收益。
　　
表1：严格delta中性对冲后的资产组合损益与delta

如果根据表1作图，我们将看到一条这样的曲线：当标的价格在92.5到98.5时，资产组合是亏损的，然而损失额随标的价格上涨而减少，且斜率减小；当标的价格在98.5到102的区间内，曲线几乎是水平的，表明资产组合损益接近于0；当标的价格在约102到108.5时，组合是盈利的，盈利额随标的价格上涨而提高，且斜率也在增大。
　　
从表1可以看到，在当前标的价格（100）附近，delta是非常接近0的，这证明交易员的delta中性对冲操作无误。然而，在一次期权研讨会上，塔勒布询问众人，如何看待表1所代表的头寸。仅有部分没有交易经验的人回答“持平”，所有交易员都回答“做多”。

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塔勒布继而构建了另一个组合。假设该名交易员没有卖出62.6万美元现货进行对冲，而代之以卖出55万美元的现货，资产组合损益及delta情况将如表2所示。
　　
表2：按调整后比例对冲的资产组合损益与delta

　
如果根据表2作图，我们得到的曲线将有所变化：标的价格在92.5到98.5时，组合损益随标的价格上涨而改善，其中在约95时达到第一个盈亏平衡点；标的价格在98.5到104.5时，组合损益随标的价格上涨而恶化，其中在101左右达到第二个盈亏平衡点；标的价格在104.5到108.5时，组合损益随标的价格上涨而改善，其中在105至106间时达到第三个盈亏平衡点。
　　
由表2可以看到，尽管在标的当前价格附近，组合是做空的，然而在更大范围上看，组合是中性的。表2显示，这一对冲的效果可能更好：最大损失从-122降低到-65，当然最大收益也从171降低到107，然而delta中性的目的也正在于此。当然，关于效果是否真的更好的问题，实则见仁见智。塔勒布在同一次期权研讨会上也展示了表2这一次人们的观点相对分化：更关注极端情况的人认为组合在股价大涨时获益、大跌时亏损，感觉更接近做多；关心标的资产小幅变动的人感觉组合是做空的；关注标的中幅波动的人则认为组合相对持平。

因此，投资者是否要采用delta作为对冲比例？这取决于投资者对于标的资产波动率的预期以及自身的效用曲线。在上述例子中，如果投资者判断标的资产波动极小，或者愿意每5分钟进行对冲以保证组合始终严格中性，那么卖出62.6万美元是更好选择；如果投资者认为标的资产价格有较大可能突破窄幅区间，或者希望控制对冲频率以节省交易成本，那么就应当重新考虑合适的对冲比例。
　　
从以上的例子中，投资者已经可以看出delta存在的问题了。Delta定义中的U意味着标的资产价格无限小的变动，并且BS公式的成立也有赖于对应这类无限小变动的连续时间对冲。然而，由于最小报价单位的存在，不可能实现此类无限小变动；就算存在无限小变动，连续对冲的收益也难以覆盖交易成本。因而按照delta进行风险管理，可能无法取得最优效果。
　　
塔勒布建议，或许可以使用修正delta。修正delta定义如下：

修正Delta=F/U
　　
这一定义形式上看似变化不大，但由连续对冲变为了更切实际的离散对冲。不过，它假设资产价格仅向一个方向变动，也不够完善。进一步的优化如下：

Delta=1/2(F/U- +F/U+)
　　
其中U-和U+)为标的资产向下和向上的变动幅度。
　　
由以上公式可以看到，投资者可以根据对标的波动的预期及自身效用曲线，确定标的变动幅度并计算相应delta，作为适合自己的对冲比例和风险度量。这一离散delta同时包含了一些二阶导和三阶导，从而使得delta在数学意义上更为完善。（来源：上海证券报）

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