期权价几何？如何评估？

期权的价值如何评估？能不能像股票债券等金融资产一样，运用现金流量折现模型进行评估呢？理论上当然是可行的，可是现实中是难以实现的。原因在于期权未来的现金流量随着标的资产的市场价格波动而波动，换句话说，期权的风险依赖于标的资产的市场风险，而标的资产的市场价格的波动是随机的，这就导致期权的未来现金流量和投资报酬率的预测变成极为困难。既然期权的价值不能用现金流量折现模型进行评估，那人们就只能另辟蹊径，寻求他法。
如果金融市场是有效的，不存在套利机会的时候，不同的资产在未来现金流量分布相同的情况下，那这些资产的当前价格也应当是相等的。假如未来现金流量分布相同的资产，其当前价格不相等，自然就会存在套利机会，人们就会有套利行为，最终同样也会导致资产的价格趋于一致。因此，无套利原则成为期权定价的基础。这时我们可以通过构造一个资产组合，使其未来到期日现金流量的分布与期权到期日的现金流量的分布相同，则构造该资产组合的成本，即为期权的价格。这就是常说的复制原理。
那如何构造这样的资产组合？其核心在于设计一个套期组合策略，使得期权投资的市场风险为0。
现在我们来考虑这样一份股票看涨期权，其标的股票当前价格为Sο，期权到期日执行价格为X。
则期权到期时的收益有两种可能：
①当期权的标的股票价格上涨到Su＞X时，这里我们假设股价上行乘数为u，则Su=uSο。此时看涨期权被执行，因此期权的收益Cu=Su-X。
②当期权的标的股票价格下降到Sd≦X时，这里我们假设股价下行乘数为d，则Sd=dSο。此时看涨期权不会被执行，因此期权的收益Cd=0。
现在通过构造一个资产组合，即买入H股股票，和借入适当的借款，这里假设无风险利率为r，在期权到期日时，则该资产组合的收益情况如下：
①当股票价格上涨到Su时，该资产组合的收益=H·Su-偿还初始借入的借款本金及利息。
②当股票价格下降到Sd时，该资产组合的收益=H·Sd-偿还初始借入的借款本金及利息。
当H·Su-偿还借入的借款本金及利息=Cu；H·Sd-偿还初始借入的借款本金及利息=0时，该投资组合的成本=期权的价格。因此：
期权价值Co=该投资组合的成本=购买股票支出-初始借入的借款=H·Sο-初始借入的借款。
从以上式子看出，要解得期权的价值，只要知道所构造的资产组合中购入的股票数量H和初始借入的借款即可。因此接下来的任务就是如何求得H以及初始借入的借款。
考虑这样一个投资组合：购入H股的股票，同时卖空一股看涨期权，则根据套期保值原理，只要股票和期权的比例适当，就可以使风险完全对冲，实现完全的套期保值，从而锁定资产组合未来的现金流量。即无论股票价格如何变化，该资产组合的未来现金流量不变。因此，有如下等式成立：
股价上行时现金净流量=股价下行时现金净流量。同时：
①当股票价格上涨到Su时，该投资组合的现金净流量=H·Su-Cu；
②当股票价格下跌到Sd时，该投资组合的现金净流量=H·Sd-Cd。
由 H·Su-Cu=H·Sd-Cd可解得：

这里的H通常被称为套期保值比率，其含义为：当买入股票和卖空期权的比例为H时，可以实现完全的套期保值。

由H·Su-偿还初始借入的借款本金及利息=Cu，可得：
偿还初始借入的借款本金及利息=H·Su-Cu，因此

初始借入的借款=偿还初始借入的借款本金及利息/(1+r)=(H·Su-Cu)/(1+r)。
因此，期权当前的价值Cο为：

把H带入上式，可得：

其实这就是单期的二叉树模型的计算公式。

在运用复制原理评估期权的价值时，基本原理是不存在套利机会。实际上，当金融市场不存在套利机会，资产的风险可以完全对冲时，其实这其中还暗含着一个原理——风险中性定理，即投资者对待风险的态度是中性的，所有证券的预期报酬率都应当是无风险利率。因此，期权的价值还可以通过计算未来现金流量的期望值，然后按照无风险利率折现来得到。即：
期权价值Co=期权未来现金流量期望值/(1+无风险利率)=E(期权未来现金流量)/(1+r)。
如此，我们只要计算期权的未来现金流量的期望值，就可求得期权的价值。(仍以看涨期权为例，同时假设无风险利率为r)。
期权价值变动依赖于标的股票市场价格的变动，假设股票价格上涨的概率为p，则股票价格下跌的概率为1－p，根据风险中性定理，股票的期望报酬率为无风险利率，因此有：
股票期望报酬率=股价上行概率×上行报酬率+股票下行概率×下行报酬率=无风险利率。
p·上行报酬率+(1－p)·下行报酬率=r，由此可解出股票价格上行的概率p和股票价格下行的概率1－p。同时：
①当看涨期权标的股票的价格上涨到Su时，期权价值为Cu=Su-X；
②当看涨期权标的股票的价格下跌到Sd时，期权价值为0。
因此期权到期日现金流量的期望值=p·Cu+(1－p)·0=p·Cu。
因此期权的价值Co=(p·Cu)/(1+r)。
知道期权价值评估的基本原理之后，我们就可以通过二叉树模型来计算期权的价值。单期二叉树模型是最简单的模型，计算出来的结果也是和实际的期权价值差别较大的。但是，当我们把二叉树模型进一步细分为更多的期间时，比如二期二叉树模型，三期二叉树模型……，n期二叉树模型等等，当我们细分的期数越多，计算出来的期权价值也就越接近期权真实的价值。当把二叉树模型无限细分，分为无穷期间数时，就得到了布莱克-斯科尔斯(Black-Scholes)期权定价模型，该模型简称BS模型。关于BS模型的推导，涉及到复杂的数学背景知识，所以这里就不讨论了，有兴趣的可以去看看相关专业的书籍。
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