美式期权定价中蒙特卡洛方法的应用

期权时代 2019.5.22

蒙特卡洛方法

蒙特卡洛方法又称随机抽样或统计试验方法，属于计算数学的一个分支，最早应用于20世纪40年代中期的原子能领域。
蒙特卡洛方法是以概率和统计理论方法为基础的一种计算方法，利用随机数（实际应用中通常为伪随机数）来产生随机的基于一定分布假设的数字序列，进而解决各种计算问题。
通过对问题的结果分布进行假设和拟合，利用电子计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解。
为象征性地表明这一方法的概率统计特征，故借用赌城蒙特卡洛命名。
从理论上来说，蒙特卡洛方法需要大量的实验。实验次数越多，得到的结果才越精确。计算机技术的发展使得蒙特卡洛方法得到快速普及。
现代的蒙特卡洛方法，已经不必亲自动手做实验，而是借助计算机的高速运转能力，使得原本费时费力的实验过程，变成了快速和轻而易举的事情。它不但用于解决许多复杂的科学方面的问题，也被项目管理人员经常使用。
借助计算机技术，蒙特卡洛方法兼具了两大优点：
一是简单，省却了繁复的数学推导和演算过程，使得一般人也能够理解和掌握；
二是快速，简单和快速是蒙特卡洛方法在现代项目管理中获得应用的技术基础。
蒙特卡洛与期权定价
在实际应用中，蒙特卡洛方法通过执行统计抽样实验来解决各种数学问题，提供了近似的解决方案。
在金融行业数量化工具的设计和定价中蒙特卡洛方法被广泛运用，如为一些难以求出解析解的奇异期权进行定价。
有些投资者不太清楚蒙特卡洛方法在期权定价领域里面的必要性，事实上产生这样的疑惑和国内期权市场发展情况息息相关。
国内期权市场发展落后于欧美发达国家，场内期权数量屈指可数，相关的指数和资产管理产品寥寥无几，同时场外期权主要交易的品种也以简单的香草期权（vanilla options）为主，夹杂少量特殊定制的奇异期权。
由于接触的大多是已经有解释解，或者说期权交易和对冲中的希腊字母相对容易计算的期权品种，无论是投资者还是大量金融机构的从业人员对相对复杂的期权品种的定价以及希腊字母的计算方式还是比较陌生的。
实际上在交易者频繁交易各种奇异期权的国外市场，蒙特卡洛方法是相当常用而且具有实战意义的定价方式。
蒙特卡洛与美式期权
下面我们以最为简单的美式期权展开讨论：
美式期权与欧式期权相对应，其持有者有权利在期权续存期内的任意时间行权。在国外成熟的交易市场，绝大部分交易的期权合约都是美式的。
相比而言，欧式期权的定价更加容易，实际情况中，交易者会考虑利用相似的欧式期权的价格对美式期权价格进行推导。
假设C为美式期权价格，c为对应的欧式期权价格。显然，由于美式期权和欧式期权的持有者的权利不同，两者必须符合以下规律：
一是由于持有者可以在存续期内任意时间行权，实值美式期权价格C必须不低于该期权的内含价值，也就是当前美式期权行权的收益。
二是无论看涨看跌，美式期权的价格都必须高于对应的欧式期权价格。在同等情况下，对应的欧式期权价格为美式期权价格的下限，即C≥c、P≥p。
三是美式期权同时满足期权价格的平价公式（Put-Call Parity），其中无分红美式期权应满足以下公式——S0-K≤C-P≤S0-Ke-rT。
理论上，由于控制风险的暴露、节省现金、减少时间价值的损失等原因，无分红情况下的美式看涨期权不会提前行权。但在实际情况中，根据交易者具体对行情的判断，美式看涨期权仍然存在提前行权的可能。
从数学理论的角度而言，根据前文提到过美式期权和欧式期权价格的规律，可以得出结论C≥c≥S0-Ke-rt，由于r>0及t>0，显然C>S0-K，故理论上无分红情况下的美式看涨期权不会提前行权。
由于无分红情况下的美式看跌期权存在理论上的提前行权的可能性，如深度实值的时候，故对美式期权的定价而言，主要的挑战和难点集中在美式看跌期权的定价上。
美式期权的定价问题实际上是一个最优停时问题，也就是说，关键在于寻找执行期权收益比继续持有期权的期望收益大的瞬间。
假设存在Lt，当St≤Lt时执行期权收益比继续持有期权大，而St>Lt时提早执行期权不是一个最优选择的情况下，Lt被称为执行界限。
而对于以下最优停时问题：有基于最优停时τ*的最优解。
显然，对于美式期权的持有者而言，收益最大化的选择便是在St首次小于或等于Lt的时候执行期权。
由于实际上很多奇异期权难以求得解析解，本文聚焦于更具普适性的计算方法。在实际应用中，用于美式期权定价的计算方法主要为二叉树法和本文主要的研究对象——蒙特卡洛方法。
这两种方法都是基于离散时间点进行模拟分析，考虑离散时间0=t0