基于机器学习方法的宏观因子模拟投资组合构建

导读

1、作为西学东渐--海外文献推荐系列报告第五十九篇，本期我们推荐了Emmanuel Jurczenko and Jérme Teiletche 于2019年发表的论文《Macro Factor Mimicking Portfolios》。
2、宏观因子在日常投研中起着非常重要的作用。然而，由于宏观因子不能直接投资，如何利用宏观因子仍面临着较大挑战。本文利用因子模拟投资组合方法尝试解决这一难题。
3、文章主要贡献如下：首先，我们建立了一个通用的因子模拟投资组合分析框架。这个框架可以包含如两步横截面回归、最大相关性组合等各种常见的因子模拟投资组合方法；其次，我们创新性的基于机器学习方法对框架中的传统因子模拟投资组合方法进行了改进；最后，我们利用五种方法（四种传统方法、机器学习方法）构建模拟投资组合，并基于模拟投资组合对冲典型投资组合的宏观风险。总得来看，本文提出的机器学习宏观因子模拟投资方法在杠杆率、拟合优度指标上较其它四种传统方法更优，且在降低投资组合宏观风险，提升风险调整后收益上有着显著效果。
4、宏观经济对金融市场有着重要影响，然而，我们无法直接投资宏观因子。本文所提出的宏观因子模拟组合很好的帮助我们解决了这一难题，将因子收益转换为可投资的资产收益率，对投资者有着重要意义。
风险提示：文献中的结果均由相应作者通过历史数据统计、建模和测算完成，在政策、市场环境发生变化时模型存在失效的风险。

1、引言

因子投资的出现推动了一场投资者资产管理方式的重大革命。从广义上讲，因子是资产收益率的基本驱动力（Ang[2014]），因子投资组合的收益源于投资者暴露的一些系统性风险。因子投资的主要优点在于减少了投资者构建投资组合时需要考虑的维度。如果所选的因子能够非常好的预测资产收益率，那么投资者就可以专注于研究一组因子，而不必单独研究投资组合的每一个构成成分。事实上，因子投资并不是一个新兴事物，在学术文献中已经被广泛研究(如熟知的CAPM、APT模型)。
然而，从理论到实践，投资者需要解决众多实际问题，例如投资者需要凭借经验选择潜在的因子。我们知道，许多学者针对这个问题进行了相关研究。例如Roll 与Ross[1980]; Connor 与Korajczyk[1988]使用主成分分析构建潜在因子；Fama与French[1992,1993]、Carhart[1997]提出了一套基础因子分类方法，即价值、规模与动量等。这其中，宏观因子所受关注较低。然而，Chen等人[1986]、Ang与Bekaert[2004]认为宏观经济动态变化影响着金融资产收益。宏观因子一大问题是它们不可直接交易，解决此问题的方式之一是将一些可投资的资产类别与宏观经济指标相关联，例如使用股票度量经济增长，大宗商品度量通货膨胀等（Greenberg等人[2016]）。
这种方法听上去十分简单且实用，事实上这种方法在复制宏观因子的资产类别选择上依旧是随机的，没有足够的统计理论支撑，因此，一种更通用的方法—因子模拟投资组合（FMP，Factor Mimicking Portfolio）被提出，该方法解决了如何基于不可直接交易的因子构建投资组合这一难题。
本文主要贡献有以下五点：
首先，本文建立了一个通用的最小方差因子模拟投资组合构建框架。该框架可以包含目前所有流行的因子模拟投资组合方法，例如Fama与MacBeth[1973]、Lehman与Modest[1988]使用的两步横截面回归（CSR，Two Pass Cross-Sectional Regressions）、Huberman等人[1987]、Lamont[2001]使用的最大相关性投资组合方法（MSP，Maximum Correlation Portfolio）。值得注意的是，本文建立的框架有较好的可拓展性，投资者可以根据自身需求加入组合约束（例如禁止卖空、流动性限制等）。
其次，我们创新性的构建了一套基于机器学习方法的因子模拟投资组合流程。众所周知，宏观因子模型的主要问题之一是宏观经济变量通常包含较多噪声、不精确。从这个角度来看，宏观因子可以被认为是“弱”因子，常发生计量经济学中的输入错误和变量遗漏问题。为了避免这些问题，我们使用了Connor与Korajczyk [1991]、Giglio 与Xiu [2019]提出的工具变量（IV）方法。具体来讲，该方法使用资产收益率第一主成分（PC）作为工具变量来估计因子模型的Beta。同时，通过一些机器学习方法，我们改进了传统的两步横截面回归因子模拟投资组合估计方法。在第一步回归中，我们使用有监督PCA代替标准PCA来提取主成分，这可以将资产收益率对每个目标宏观因子的预测能力纳入考虑（Bai and Ng[2008]）。在第二步回归中，我们使用OLS post-LASSO代替了标准OLS，这可以帮助我们更好地识别相关因子，同时也解决了Lasso可能会带来的过度收缩限制（Belloni与Chernozhukov[2013]）。
第三，我们使用一组基础资产来构建我们的宏观因子模拟投资组合。据我们所知，以前的论文大多使用单一的资产类别（股票或者公司债券）来构建因子模拟投资组合。与此同时，我们选定的基础资产可以通过期货/掉期衍生品或ETF等工具进行投资，具有实践意义。
第四，我们对比了不同因子模拟投资组合方法复制三种全球宏观因子的能力（经济增长、预期外通货膨胀、经济压力）。从实证结果来看，无论是样本内还是样本外，我们提出的基于机器学习的FMP方法都优于常用的FMP方法。
第五，本文构建了一个实证案例，来说明如何将宏观因子模拟投资组合的结果用于对冲典型投资组合的宏观风险敞口。我们发现通过宏观对冲可以显著改善投资者的投资风险。
本文框架如下：
在第二章中，我们介绍了常用的因子模拟投资组合方法，同时提出了一个因子模拟投资组合分析框架，这个框架可以囊括所有常用的因子模拟投资组合方法。
在第三章中，我们讨论了如何基于机器学习方法对框架中的传统因子模拟投资方法进行改进，以解决测量误差和遗漏变量问题。
第四、五章我们构建了一个实证案例，用于说明我们的方法在实际中的效果。
第六章对全文进行了一个总结。
2、宏观因子模拟投资组合分析框架
因子模拟投资组合（FMP）已成为众多学术文献的主题（Balduzzi and Robotti[2008]）。一般而言，因子模拟投资组合包括两部分：
1）基础资产（base assets）：可投资的资产；
2）复制因子：不可直接投资的潜在因子。

在因子模型（2-1）的基础上，借鉴Fama and MacBeth [1973]的研究，形成了第一种流行的FMP方法，即两步横截面回归（CSR）。这种方法主要步骤有两步：第一步：构建基础资产收益率与因子值的时间序列回归方程来估计资产载荷；第二步：通过资产收益率和估计得到的Beta的横截面回归得到每个因子的风险溢价。横截面回归的最初目标是用于因子定价，但Fama[1976]提出第二步回归中获得的系数相当于用资产收益率对第一步回归中所用因子进行模拟。通过这种方法构建的模拟投资组合对于其希望复制的因子的暴露为1。同时在Fama-MacBeth方法中，第二步横截面回归是通过普通的最小二乘回归（OLS）进行的。为了处理公式（2-1）中可能存在的残差异方差和自相关问题，一些学者建议使用不同的回归方法进行改进，例如加权最小二乘（WLS; Litzenberger与Ramaswany[1979]）或广义最小二乘（GLS; Lehman与Modest[1988]）。
第二种FMP方法，由Huberman 等人[1987]与Breeden等人[1989]率先提出。
这种方法的目标为最大化每个FMP与感兴趣的因子之间的相关性，因此也被称为最大相关性组合（MCP，Maximize Correlation Portfolios）。MCP方法基于单变量回归得到每个因子的资产负荷，并通过求解最小方差方程获得每个FMP。Lamont[2001]提出了一种类似的方法—经济跟踪组合（ETP）。虽然ETP与MCP的具体做法不同，我们可以推导出ETP的权重与MCP的权重成正比，比例系数为基础资产收益率对每个因子进行多元回归的系数。

我们的框架有下述三个优点：
首先，使用最小化方差来得到FMP投资组合是一种较为常见的方式（Huberman 等人(1987)率先使用了这种方法，Melas等人 (2010)、Roll与Srivastava (2018) 、Pukthuangthong 等人 (2019)也都提到了这种方法），然而众多学者始终将这种方法与特定的FMP方法结合起来，而本文将所有方法表示为一个通用的公式。
其次，在公式（2-2）或下文的其他应用中，我们并没有加入除目标敞口以外的任何投资组合约束。然而我们提出的框架允许投资者根据自身需求增加各种形式的约束。例如，默认的FMP是多空组合，投资者可以根据实际情况限制只能做多。但需要注意的是，加入其他约束的优化方程可能不再具有解析解。
第三，虽然在上面的分析表达式中，我们仅考虑静态Beta（例如FMP权重）。但我们的框架也可以轻松适应动态Beta，例如可以采取Ferson和Harvey[1991]所提出的通过使用滞后的宏观经济变量或资产特定的工具变量方法来实现动态Beta。
3、基于机器学习方法的因子模拟投资组合

与标准OLS估计不同，两步最小二乘IV回归可以得到因子载荷的无偏估计。这主要是因为第一主成分可以在旋转不确定性的情况下恢复资产收益率的真实因子空间(Bai and Ng [2002])。。
直观地讲，由于基础资产收益率与潜在风险因子完全不同，因此可以使用单个资产收益率中包含的信息来恢复真实的因子结构并通过消除观察到的因子中的计量误差来改进FMP估计。
下面，我们引入一些机器学习方法来改进两步最小二乘FMP估计方法。在第一步回归中，我们用有监督的PCA代替了传统的无监督的PCA方法，该方法在提取统计因子时明确地将基础资产的预测能力纳入了每个宏观因子。机器学习文献中，至少有三种用于提升回归预测能力的方法。
第一个方法是：利用偏最小二乘（PLS）方法来提取统计因子(Kelly与Pruitt [2015])。
第二个方法是：Scale PCA（sPCA; Huang等人[2018]），从一组基础资产收益率中提取PC，同时这些收益率根据各自对因子的预测能力进行缩放。
第三个方法是：target PCA（tPCA; Bair等人[2006]、Bai与Ng[2008]），使用硬性或软性阈值规则从对目标因子具有强大预测能力的基础资产的子集中提取PC。
我们在最后一种方法的基础上使用软阈值LASSO惩罚规则估计观测因子的拟合值。软阈值规则重点在于选择LASSO收缩参数，该参数可利用最小化贝叶斯信息准则选择。
在第二步回归中，我们将标准OLS回归替换为OLS post-LASSO 回归。这种方法可以通过LASSO正则化更好地识别相关因子，同时规避LASSO回归通常的过度收缩限制(Belloni and Chernozhukov, 2013）。
最后将传统OLS回归得到的Beta替换为基于机器学习方法得到的Beta，我们可以得到ML-CSR。
4、宏观因子模拟组合实证准备
对于任何宏观因子模拟投资组合方法，都需要选择一组基础资产。在我们的实证中，基础资产不仅需要可投资，而且考虑到我们的实证是从70年代初期开始的，我们希望这些基础资产具有较长的历史。

图表2列出了我们最后选定的九种基础资产。它们涵盖了主要资产类别，例如股票，国债，信贷，通货膨胀债券，商品和外汇等。对于不是指数利差的基础资产，收益计算为超出现金利率（1个月美元Libor）的超额收益。同时大部分基础资产都可以通过衍生工具（期货或掉期）或ETF进行投资。
下面我们将这套方法用于探讨因子择时中的几个重要问题，这有助于增加我们对因子择时的理解。

关于宏观因子，我们借鉴Ang（2014）的观点，考虑了三个全球宏观因子：经济增长，预期外通胀和经济压力。
1）经济增长：通过OECD综合领先指标（CLI）衡量，该指标能够捕捉全球商业周期转折点。此外，该指标消除了长期趋势的影响，是衡量全球经济增长趋势的创新指标。
2）预期外通胀：可以通过ECD year-on-year inflation rate指标已实现值和滞后六个月值的差来度量。
3）经济压力：我们使用两个流行指标的等权组合来度量，即芝加哥联储的国家金融状况指数（NFCI）和Chow[1999]等人开发的动荡指数。
为了便于解释，本文将经济增长，预期外通胀和经济压力三个因子进行Zscore标准化，同时缩放为每月波动率1％。数据样本期为1974年1月到2018年6月（534次观测），近50年的数据窗口涵盖了各种宏观经济事件，例如70年代的石油冲击或几次经济衰退以及众所周知的市场崩盘。
要构建宏观FMP，我们需要建立将基础资产收益与要模拟的宏观因子联系起来的因子模型。为了说明金融资产能够在经济事件发生之前作为反应，我们采用t-12时刻的基础资产收益率与t时刻的因子值进行回归。同时，为了消除由于滚动引起的重叠效应，我们使用Newey-West估计调整后的t统计量衡量变量显著程度。图表3为OLS的回归结果，可以看出这组基础资产对各种宏观因子的所有回归均在统计上显著，R为4％至33％。
Lehman and Modest[1988]指出，用于构建因子模拟投资组合的基础资产必须在各因子负荷中足够分散，以便能够有效复制因子。例如，较高的经济增长对股票、信贷和工业有正面影响，同时会对名义债券产生负面影响。预期外通货膨胀有利于通货膨胀关联债券、名义债券、黄金和能源，同时会对美元造成不利影响。经济压力对股票、信贷以及黄金、能源和美元的收益产生负面影响。

如第3章所述，宏观经济变量具有固有的噪声，可能会影响因子模拟投资组合效果。因此我们使用机器学习方法对传统因子模拟投资方法进行改进。对于每个宏观因子，我们首先基于tPCA（前文提到的目标PCA）提取潜在因子。之后通过LASSO回归选择相关的单个资产组成部分，并以此来估计tPCA拟合的宏观变量。最后，对于每种基础资产，我们建立其收益率与这些tPCA的回归方程。在这里，我们用OLS post-LASSO代替普通OLS，这种方法在降低变量维度的同时避免了Lasso回归可能出现的低估问题。
图表4展示了机器学习因子模型的回归结果。可以看出，机器学习因子模型的解释力（Adjust R2）远大于标准模型的结果。我们还注意到，尽管采用了LASSO模型进行PC选择，大多数的PC还是得以保留，这说明了考虑的宏观因子对于基础资产收益率十分重要。

下面我们通过不同方法构建宏观因子模拟投资组合：
i）OLS：OLS-CSR Fama-McBeth模型；
ii）GLS：基于GLS修正因子模型协方差矩阵估计的FMP；
iii）WLS：基于WLS修正因子模型协方差矩阵估计的FMP；
iv）MCP ：the unit-Beta MCP
v）ML ：ML-CSR，基于机器学习方法对第一种方法的OLS模型进行改进。
图表5展示了基于不同方法构建的模拟投资组合结果。可以看出一些基础资产在不同FMP方法中显示出一致的敞口。例如经济增长的FMP是看多股票、工业金属和通货膨胀相关的债券，并且看空国债。预期外通货膨胀的FMP是看空名义国债、美元，并且看多股票、通货膨胀相关债券，信贷和黄金。经济压力的FMP是看多国债、能源和美元以及看空股票和信贷。其他资产的敞口在不同方法种表现不同。

图表6展示了不同因子模拟投资组合的样本内表现。可以看出ML FMP的杠杆（所有仓位相加）极端性要小得多。由于杠杆通常与风险相关，同时对于某些投资者来说杠杆是有限制的，这是一个关键的优势。对比来看，修正协方差组合通常会导致较高的杠杆。
我们发现ML FMP得出的投资组合的波动率更合理，接近宏观因子的原始波动性（即我们构建因子时所取的1%）。我们用相关系数、RMSE、MAE等指标来度量FMP和潜在因子的相关程度。从MAE指标来看，ML FMP表现最优，其次是MCP，而OLS-CSR表现最差。
图表6也给出了风险溢价（由每个FMP的超额收益率定义）和相关的夏普比率。可以看出仅有OLS和ML FMP在所有因子上都呈现正收益。同时预期外通货膨胀因子的收益是最高的，且所有方法都为正向收益。而经济压力却大多为负向收益，这说明尽管经济压力会影响资产价格，但不一定会拥有正向溢价。

图表7为基于ML-CSR得到FMP时间序列。本文使用过去一年的移动平均值来减少月收益中的固有噪声。从时序来看，ML-CSR 宏观 FMP 拟合效果较好。

目前的所有结果皆为样本内FMP结果，下面我们用两种方法分析样本外FMP表现：
1）方法一（固定长度法）：我们将1974年1月-1996年3月的数据作为训练集， 1994年4月之后的数据作为测试集。
2）方法二（拓展样本法）：从1996年4月开始，每个月基于拓展样本重新估计模型，并将新估计的FMP用于下个月。
图表8展示了两种样本外方法的表现，可以看出几乎所有方法样本外的拟合优度指标均有下降，甚至一些因子的相关系数转为逆向。综合比较，ML FMP方法在样本外表现最优。

5、实证案例：对冲典型基金组合的宏观风险
前文中，我们从一个更一般的角度给出了不同因子择时能力下择时策略的表现，并给出了一系列盈亏平衡点。那么实践中，我们能够达到多高的因子择时能力呢，是否能够达到这些盈亏平衡点？下面我们从两个非常简单的择时策略出发，来观察实践中的因子择时策略效果
宏观因子模拟投资组合潜在优势之一是允许投资者对冲组合所蕴含的宏观风险，例如经济衰退，预期外通胀和经济压力等。
我们以一个代表性投资组合（endowment portfolio）为例，组合构成如下：35％的股票（MSCI World指数），10％的国债（Bloomberg Barclays全球国债指数），5％的美国高收益率债券（Bloomberg Barclays的美国高收益率债券指数），5％的商品（彭博商品总回报指数），20％的对冲基金，10％的房地产（NCREIF房地产指数）和15％的私募股权（Cambridge Associates私募股权指数）。首先为了从宏观视角探究这个组合，我们基于拓展窗口法建立投资组合超额收益率与三个宏观因子的回归方程，具体回归结果如图表9所示。
我们分别基于过去12月IC均值和多空组合BP比值构建了因子动量策略和估值价差策略，两者风格IC为19.13%、12.36%，基本上都达到了上文所说的盈亏平衡点，特别是因子动量策略，超过了手续费为双边千十的盈亏平衡点。这证明了上文我们所说的因子择时能力并非是遥不可及的。

可以看出模型的Adjusted R2接近90%，组合每年alpha平均值接近2.5%。接着，我们计算组合风险贡献(以波动率作为风险)。可以看出组合最大一部分风险来自于经济压力，其次是经济增长和预期外通货膨胀，特质风险为组合总风险的约10%。

图表12为两个投资组合表现。可以看出宏观对冲后的组合虽然在年化收益率上有所降低，但在波动率、最大回撤、夏普比率等多个指标上有着极为明显的改善。同时从整体分布来看，宏观对冲后的组合也表现更优(偏斜为正，峰度有所降低)。

6、总结
宏观因子在日常投研中起着非常重要的作用。然而，由于宏观因子不能直接投资，如何利用宏观因子仍面临着较大挑战。在资产定价文献中已经提出了多种处理宏观经济因子不可交易的方法，这些方法可以统称为“因子模拟投资组合（FMP）”。
本文提出一个通用的FMP框架，可以包含现有的因子模拟投资方法，例如两步横截面回归（CSR）和最大相关投资组合（MCP）方法。
同时我们基于机器学习方法（如有监督主成分分析和Lasso回归）对框架内的传统FMP估计方法进行改进。文章基于五种因子模拟投资组合方法（四种传统方法、机器学习方法）分别对三个宏观因子（经济增长、预期外通货膨胀与经济压力）构建模拟投资组合，可以看出机器学习宏观因子模拟投资组合方法在杠杆率、拟合优度等多个指标上表现更优。同时我们利用机器学习宏观因子模拟投资组合对冲典型投资组合的宏观风险，可以看出宏观对冲后的组合在最大回撤、夏普比率上有显著提升。
本文的方法也可以基于投资者自身需求加入一些限制条件（如禁止卖空、流动性限制等），我们将在未来继续推进这部分研究。
参考文献
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文献中的结果均由相应作者通过历史数据统计、建模和测算完成，在政策、市场环境发生变化时模型存在失效的风险。

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注：文中报告节选自兴业证券经济与金融研究院已公开发布研究报告，具体报告内容及相关风险提示等详见完整版报告。

证券研究报告：《西学东渐--海外文献推荐系列之五十九》。
对外发布时间：2020年1月16日
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