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带你进入期权立体世界

这是未来金融研究院第 327 篇原创文章，作者：frog 1

我们今天来讲一篇文章，这篇文章蔡博之前解读过，我来狗尾续貂一下。这是一篇于2012年发表在Modern Economy期刊上的文章，主要是综述前人在vix产品定价方面所做的工作。

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VIX指数的背景

经常阅读本公众号文章的朋友们应该对VIX的背景不陌生。

VIX这个概念最早是在1993年由在杜克大学任职的Robert Whaley教授提出来的。现在在谷歌上搜索Robert Whaley，头条并不是这位教授，而是一位同名同姓的NBA球员，果然研究VIX的道路是孤独的，幸好一路有管大和群友们相伴。VIX的诞生地，杜克大学，离我家只有半个小时的车程，今后如果在VIX方面有所疑惑，不妨去杜克大学祭拜一番以求解惑。因为最早的VIX算法现在已经不再使用了，所以这个算法大家就先不要管了。2003年的时候高盛的Sandy Rattray和Devesh Shah提出了新的VIX算法，也就是现今所使用的算法。这个算法在蔡博的雄文VIX指数的来龙去脉和iVIX的计算方法里面解释得非常清楚，那篇雄文读得我都要给蔡博跪了。从VIX指数计算到VIX期货定价

VIX指数是不能交易的，我其实不知道确切的理由，不过我可以猜一个。因为VIX指数是有底的，如果能交易的话，在底部做多是稳赚，但这个时候不会有对手盘，也就形成不了市场。新版的VIX指数在2003年推出的时候，全世界的赌徒都沸腾了，只能看不能赌咋整啊。大赌场CBOE没有看到钱不挣的道理，在新VIX指数推出后不到一年就推出了相应的期货。这个期货平日里很萎靡，长期做多是亏钱的，但爆发的时候一天能涨20%以上，简直让人欲罢不能。最后自然少不了衍生品王冠上的明珠，CBOE于2006年引入了VIX期权。至此，洗剪吹一条龙服务算是完成了。这些VIX产品是CBOE历史上发行过的最成功的新产品。

VIX产品除了投机之外也还是有正经用途的。

如果你持有一个死做多大盘的仓位，那么加入一些VIX的持仓可以有效地对冲风险。关于VIX的方向和标普的方向的关系，比较确定的是标普猛跌的时候VIX会大涨，但标普猛涨的时候VIX有可能一直在低位，也有可能涨（这里要感谢群友HB提供的知识点）。其实VIX本身的定义是不带方向的，它就是衡量一个波动率。上述的不对称性的来源，我来猜一个，就是市场对标普涨跌的理解不同。因为股市向下是很容易的，如果开始崩盘的话，人们对下方会有很大的想象空间。另一方面，股市向上总是一个缓慢积累的过程（至少美股多数时间是这样），那么即使现在标普猛涨了一波，人们也不会觉得这个猛涨会持续下去，除非是那种吹泡沫吹到最猛烈的时候。标的资产和波动率同涨在指数上比较少见，但是在热门个股上还是很多见的，比如猛涨时期的TLRY和BYND。至于为什么用VIX来对冲下跌风险非常高效，是因为VIX的波动率（也就是VVIX），大约是SPX的波动率（也就是VIX）的4倍，所以小仓位的VIX可以对冲大仓位的SPX多头。

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VIX指数的计算

VIX指数的计算公式当然是很复杂了，反正我也看不太懂，我看看能不能蒙几个核心思想出来。

首先需要理解的一个事情是SPX从现在到T（某个给定的时间点）这段时间的位移是一个随机变量，也就是说在T时间的时候，SPX可能涨1%，也可能跌2%，这里面有随机性。然后我们知道这个随机变量会有一个方差，用来衡量它的波动性。我们把这个方差叫做SPX从现在到T这段时间的方差。为什么要把方差跟时间扯上关系呢？因为如果我们假设SPX是布朗运动的话，那这个随机变量就是一系列小的相互独立的随机变量之和。说人话就是SPX从现在到第T天的涨跌幅，其实是中间每一天的涨跌幅加在一起得来的，布朗运动同时还假设每一天的涨跌幅是独立的。然后我们用一个结论：如果有两个随机变量，它们互相是独立的，那么他们之和的方差等于他们方差之和。所以从现在到T这段时间的方差是中间每一天的方差之和，也就是说方差在时间维度上是可叠加的。

下一个事情是怎么获得SPX从现在到T这段时间的方差。我们需要使用到期日为T的期权链，期权链就像DNA链，里面描绘了市场的很多特征，方差是其中的一个，我们要把它提取出来。提取的方法叫做方差互换，具体做法是把这个期权链中每个虚值期权（包括call和put）的价格拿出来，然后给每个期权的价格配上一个权重，这个权重是相应行权价平方的倒数，再全部加起来，就得到一个值，我们给这个值起个名字叫Z。这背后的逻辑是这样的，这些虚值期权的价格完全是由SPX的波动性支撑起来的（如果没有波动性那么它们就全都是0），Z是所有这些期权价格的总和，所以是一个用来衡量SPX波动性的良好指标。最后对Z做一些线性变化，再加上一些小调整（后面再讨论这个），就可以得到从现在到T这段时间的方差了。所以往简单了说，这个方差基本上就是用Z乘上某个固定的系数。

从这个方差再到VIX就只差两步了。VIX想要反映的是未来30天的波动率，最理想的期权链就是30天后到期的（也就是T=30），但大多数时候没有30天后到期的合约，那就只能看两条相邻的期权链，一条近期的（小于30天后到期）和一条远期的（大于30天后到期的）。分别计算出这两个时间段内的方差，然后根据到期时间来做加权平均，就可以估计出30天的方差。举个例子，如果近期是20天，远期是50天，给它们分别配上2/3和1/3的权重再加在一起，就可以得到30天的方差（20*2/3+50*1/3=30）。这一步计算用到了之前所说的方差在时间维度上的叠加性。最后一步的变换是把30天的方差年化（同样是使用了方差在时间维度上的叠加性，也就是大概乘以12），开根号（变成标准差），再乘100，变成可读性非常高的一年内SPX预期变动的百分比，这也就是最终的VIX了。比如说VIX是10，就说明市场期望一年内SPX会变动10%，向上或向下都可以。

在实际计算Z的时候，这些虚值期权的价格用的是中间价。对于深虚值的期权，如果bid price是0（也就是没有人挂买单），那么这个期权就不参与Z的计算，或者可以理解为我们把它的价格设成0，就不会出现在加和中。这里有两点值得注意。第一点，不同合约的权重差别并不悬殊。从文章里面给出的例子来看，当时SPX是1334.97，非零合约的行权价是从1195到1380，这两个极限对应的权重分别是大约7e-7和5.25e-7，这是在同一个数量级上的。第二点，Z是加权求和（有一点像做积分），不是加权平均，所以在深虚值的位置，有多少个非零合约，每个合约中间价是多少，都会对最终的结果有影响，又因为权重的差别不是很大，所以这些深虚值期权对最终结果的影响与浅虚值期权是有可比性的。从这里我们可以看到如果短时间内用大资金砸流动性差的深度虚值期权抬高其中间价，是可以在短时间内拉升VIX的，这在VIX期货的交割日可能会发生。

再说一下从Z变换到方差这步的小调整，其中包括无风险利率和implied forward index level。无风险利率的引入是因为期权考虑的是未来的事情，我们要做一些折现，而这些期权都是相对近期的，所以折现这一项的影响不大。Implied forward index level是用平值的call和put的价差计算出来的，也就是说如果call比put贵，市场对SPX的预期就是往上走，反之亦然。一般来说这个implied forward index level和spot会非常接近，所以这一项的影响也不大。

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VIX期货的定价

VIX期货区别于其他期货的地方是它的现货不能交易。所以传统期货定价理论涉及到的现货持有成本，无套利原则，在VIX上都不适用。比如钢材的期货价格不能超过现货价格加上持有成本，否则买入现货卖出期货就可以套利了，但VIX期货就不受这个限制。VIX期货和现货唯一确定的关系只在交割的那个时间点上，至于用什么形式收敛很难说清，大家可以看我做的那个视频观察历史上都是怎么收敛的。VIX的前世今生——第一部VIX原创微电影

要想对VIX期货进行定价，就要先搞清楚这个期货是盯着什么标的的。比如5月21日到期的期货，盯着的标的是5月21日那天的VIX，5月21日的VIX反映的是从那以后30天的波动率。5月21日对我们来说已经是未来了，所以5月21日的VIX所反映的之后30天的波动率就是未来的未来。之前在VIX的计算中我们讨论的方法允许我们计算出从今天到未来任意一天的方差，那怎么计算从未来的某一天到更远的未来的某一天的方差呢？同样还是运用方差在时间维度上叠加的原理。比如说一个VIX期货还有40天到期，我们如果要给它定价，就要对40天后的VIX值有个估计，也就是第40天到第70天的方差。这时候我们只要用从现在到70天的方差减去从现在到40天的方差就可以了。实际操作中，每个VIX期货的到期日附近都会有一个SPX的期权链（这两个到期日之间会差两天，一个是周三，一个是周五），通过一些小调整去掉这两天的影响后，基本上就是用下个月的SPX期权链对应的方差，减去当前这条期权链对应的方差，就可以估计出这个期货到期日时候的VIX了。

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VIX期权的定价

与VIX期货的定价相比，给VIX期权定价最大的难点在路径依赖，比如说一个VIX call，它的价格里面要反映出它的存续时间内VIX有多少上爆的可能，如果上爆能爆到哪里，这两个变量非常难以捉摸。不但理论模型不好搞，VIX历史数据的可参考性也是非常值得怀疑的。比如贸易谈判期间VIX的走法，历史上就没有可参考的地方，毕竟推特的出现也才没几年。

现今还没有完备的模型可以给VIX期权定价，这个从逻辑上很好理解，如果一个人发现了一个比较完备的模型，他不会告诉任何人，而是会悄悄去市场上抢钱，所以最终我们也不会在任何期刊上看到一个完备的模型。这个有点像时间旅行的逻辑，如果时间旅行是可能的话，那么从现在到未来这个无限长的时间段内，一定会有人开发出时光机，也就会有人通过时光机来到我们现在的这个时间拜访，但我们并没有发现任何从未来回来的人，所以时间旅行是不可能的，哎？等等，我们真的确定没见过从未来回来的人吗？翻一翻我们期权黄埔军校群的聊天记录看看，可能会有不一样的发现。

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