【华泰固收·经典精译】所罗门兄弟：理解收益率曲线（七）

《所罗门兄弟债券手册：理解收益率曲线》一直被奉为债券投资的经典之作，华泰固收团队精心对原版内容进行梳理、翻译、微调，使其中文版本可读性更强、专业术语更易理解，以飨各位读者。全书一共七部分，我们分七次发送。

第7部分：收益率曲线形态的动力学：实证证据、经济学解释和理论基础

引言
我们如何解释给定日期收益率曲线的形状（陡峭程度和曲率）？收益率曲线随着时间的推移如何演变？在本报告中，我们研究了两个关于收益率曲线行为的一般问题。我们早先的报告显示，市场的收益率预期、债券风险溢价和凸度偏差决定了收益率曲线的形状。现在我们讨论与这三个决定因素在影响曲线陡峭程度和曲率中的相对作用有关的各种经济学假说和经验证据。我们还讨论了描述收益率曲线随时间变化如何演化的期限结构模型，并总结了相关的经验证据。

曲线陡峭程度或斜率的关键决定因素是市场的收益率预期和债券风险溢价。完全预期假说假设陡峭程度的所有变化反映了市场的收益率变化预期，而风险溢价假说假设陡峭程度的变化仅反映债券风险溢价的变化。实际上，收益率预期和风险溢价共同影响曲线斜率。历史证据表明，高于平均水平的债券回报，以及非上涨的长期收益率，更可能在异常陡峭的收益率曲线之后出现。这种证据与完全预期假说不一致，可能反映了时变的债券风险溢价。或者，证据可能代表非理性的投资者行为，以及长期收益率对通货膨胀或货币政策新闻的反应迟钝。

早期研究中收益率曲线曲率的决定因素较少受到关注。似乎曲率主要随着市场的曲线形变预期而变化。曲线变平的预期使得收益率曲线更加上凸（隆起），并且曲线变陡的预期使得它较少上凸或甚至下凸（向下隆起）。这看起来似乎不可能，然而，平均看来上凸的收益率曲线由系统的曲线变平的预期产生。更有可能的是，它反映了凸度偏差和杠铃、子弹组合之间明显的回报差异。如果平均来看凸度偏差是收益率曲线形状呈上凸的唯一原因，则可以预期杠铃组合的凸度优势恰好抵消子弹组合的收益率优势，在这种情况下，久期匹配的杠铃组合和子弹组合将具有相同的预期回报。历史证据表明：从长远来看，子弹组合比久期匹配的杠铃组合获得的回报略高。也就是说，风险溢价曲线关于久期看起来是上凸的而不是线性的。我们讨论了合理的解释，即对于投资者总的来说，可以接受杠铃组合的预期回报低于子弹组合：杠铃组合有较低的回报波动率（相同久期情况下）;在熊市环境中，做平头寸跑赢市场的趋势和正凸度头寸的保险特征。

关于第二个问题，我们描述了与评估各种期限结构模型相关的收益率曲线行为的一些经验特征。这些模型关于短期收益率（均值回归程度）的预期路径、风险溢价的作用、非预期收益率部分的行为（收益率的波动率是否随时间、期限或收益率水平而变化）、影响收益率的因子数量的假设各有所不同。例如，收益率曲线平行偏移的简单模型与没有均值回归，债券风险溢价不随时间变化的模型一致。对于不同债券，曲线平行偏移的假设意味着收益率的波动率期限结构是平的，而且收益率变动是完全相关的（因此由一个因素驱动）。

经验证据表明，短期收益率表现出相当缓慢的均值回归，风险溢价随时间而变化，收益率波动率随时间变化（与回报水平部分相关），基点收益率波动率的期限结构通常是倒挂或隆起的，而且这个收益率变化并不完全相关，但是两个或三个因素可以解释收益率曲线95%-99%的波动。

事实证明，许多流行的期限结构模型允许将收益率分解为收益率预期部分、风险溢价部分和凸度部分。然而，期限结构模型在对债券关系的分析中更加一致，因为它们具体说明了少数系统因素如何影响整个收益率曲线。相比之下，我们的方法可以分析每个债券的预期回报、收益率和收益率波动率。

如何解释收益率曲线的陡峭程度
收益率曲线的陡峭程度主要反映了市场的收益率预期和债券风险溢价，因为第三个决定因素——凸度偏差，只有在曲线长期端才是重要的。特别陡峭的收益率曲线可能反映了收益率上涨的普遍预期，异常高的债券风险溢价或两者的某种组合。相反，倒挂的收益率曲线可能反映了对收益率下降的预期，负的债风险溢价或两者的某种组合。

我们可以将关于曲线形状的结论类比到关于远期收益率的结论。当收益率曲线向上倾斜时，长期债券比无风险短期债券具有收益率优势，而远期收益率隐含收益率上涨。隐含的远期收益率曲线显示未来收益率的盈亏平衡水平，通过资产损失抵消长期债券的收益率优势，这将使所有债券获得相同的持有期回报。

由于预期不可观察，我们不能确定收益率预期和风险溢价的相对作用。检查两个极端假设可能是有用的，即远期收益率仅反映市场的收益率预期或仅反映债券风险溢价。如果完全预期假说成立，则远期收益率反映市场的收益率预期，隐含的收益率曲线变化很可能会实现（即收益率上涨趋向于跟随向上倾斜的曲线，收益率下降往往会导致倒挂的曲线）。相比之下，如果风险溢价假说成立，则隐含收益率曲线变化不可能实现，平均来看，高收益率债券获得滚动收益率优势（即高的债券超额回报倾向于跟随向上倾斜曲线和低的债券超额回报倾向于导致倒挂的曲线）。

实证证据
为了评估上述假说，我们将隐含的远期收益率变化（与远期收益率曲线的陡峭程度成比例）与随后收益率变化的平均实现和债券超额回报进行比较。在图1中，我们显示了（i）平均即期收益率曲线形状；（ii）三个月内远期收益率隐含的不同期限即期收益率变动的平均值；（iii）随后三个月内实现的收益率变动的平均；（iv）（ii）和（iii）之间的差或远期收益率的平均“预测误差”；以及（v）三个月内隐含收益率变动与实现收益率变动之间的相关系数估计。我们在1968年1月至1995年12月之间使用重叠的月度数据，并且特意选择一个长的中性区间，其中开始和结束的收益率曲线非常相似。

图1显示，平均来说，远期收益率隐含着收益率上涨，特别是在短期端内，这仅仅是因为收益率曲线趋向于向上倾斜。然而，平均而言抵消长期债券收益率优势的收益率变动并没有实现，这导致正的预测误差。我们未发表的分析表明，这个结论在比三个月更长的期间和不同子样本（包括平坦和陡峭的收益率曲线环境）上保持成立。远期收益率倾向于隐含着过高的收益率上涨幅度，这一事实可能是由于正的债券风险溢价的影响。

图1的最后一行显示，隐含的远期收益率变化（或远期收益率曲线的陡峭程度）与后续实现的收益率变化的相关性估计为负。这些估计表明，如果有的话，收益率往往会向远期收益率隐含的相反方向变动。直观上来说，平均来看长期收益率的小幅下滑跟随着向上倾斜的曲线，从而增加了长期债券的收益率优势（而不是抵消）。相反，平均而言小幅度的收益率增长跟随倒挂的曲线。1980年代和90年代的大牛市发生在收益率曲线向上倾斜的时期，而1970年代的大熊市在曲线倒挂时发生。然而，我们强调，图1中的负相关性相当弱，没有统计学意义。

许多市场参与者认为，债券风险溢价随着时间的推移不发生变化，并且曲线陡峭程度的变化反映了市场收益率预期的变化。然而，图1和许多早期研究中的实证证据与这种传统智慧相矛盾。历史上，陡峭的收益率曲线与随后的债券超额回报更加相关，而不是债券收益率的增长。

人们可能会认为，图1中的历史证据不再可信。也许今天的投资者能更好地预测收益率变动，部分原因是他们可以通过易于交易的工具（如欧洲存款期货）更有效地表达自己的观点。一些轶事证据支持这一观点：与早期的收益率曲线倒挂不同，最近的倒挂（1989年和1995年）发生之后很快出现收益率下降。如果市场参与者实际上正在变成更好的预测者，则子时段分析应该表明隐含的远期收益率变化已经成为后续收益率变化更好的预测因子。也就是说，最近样本中隐含和实现的收益率变化之间的滚动相关性应该比之前高。在图2中，我们绘制了这种滚动相关性，表明在过去十年中估计的相关性有所增加。

在图3中，我们比较了欧元美元期货和国库券在1987-95年期间的预测能力。欧洲存款期货市场的平均预测误差小于国债市场，反映了欧洲存款的即期收益率曲线更平坦的形状（也可能是最短期的国库券系统的“高估”预测值）。相比之下，隐含和实现的收益率变化之间的相关性表明，国债远期预测未来收益率变化略好于欧洲存款期货。与图1（长样本期）的相关性的比较表明，前端的国债远期的预测能力随着时间的推移变得更好。对于三月期收益率，这种相关性从-0.04上升到0.45，而对三年期收益率，这种相关性从-0.13上升到0.01。因此，与图1中的数据相比，最近的证据与完全预期假说更为一致，但是这些关系非常弱，判断隐藏的相关性是否真的发生了变化为时尚早。无论如何，即使最近的相关性也表明长于一年的债券往往会获得滚动收益率。

解释
图1中的实证证据显然与完全预期假说不一致。一个可能的解释是，曲线陡峭程度主要反映了时变的风险溢价，这种影响足够抵消曲线陡峭程度和收益率预期之间原本的正相关性。也就是说，如果市场需要高风险溢价，目前的长期收益率将会变得更高，曲线比单纯的收益率预期隐含的更为陡峭，长期债券的收益率最初必须上涨得很高，才能通过其高收益率及其预期收益率下降所带来的资本回报提供所要求的债券回报。在这种情况下，收益率预期和风险溢价是负相关的；陡峭的曲线预测高风险溢价和长期收益率下降。这可以解释1994年春季美国收益率曲线前端的陡峭（但是在政策收紧导致收益率曲线平坦化的早期情况下，并不是这样）。

长期平均债券风险溢价是正的（参见本系列的第3部分和本报告中的图11），但可预测性证据表明债券风险溢价是时变的，而不是恒定的。为什么债券风险溢价随时间而变化？一般来说，资产的风险溢价反映了风险的大小和风险的市场价格。两个决定因素随着时间的推移可能会波动，并导致可预测性。它们可能随着收益率水平（依赖收益率水平的波动率），或市场方向（不对称的波动率或风险厌恶），或经济状况而变化。例如，债券回报的周期性模式可能反映了风险规避水平中的财富依赖性变化，即“恐惧和贪婪的循环”。

图4显示了债券回报和收益率曲线陡峭程度典型的商业周期行为：债券回报高，收益率曲线在波谷附近陡峭；债券回报低，收益率曲线在峰值附近平坦或倒挂。这些反周期模式可能反映了货币政策对经济通货膨胀的动态反应，以及时变的风险溢价（高风险厌恶和“坏时期”要求的风险溢价，反之亦然）。图4的构造说明，如果债券倾向于获得其滚动收益率，则两条线完全契合。然而，该图表显示，债券往往会从波谷附近的收益率下降中获得额外的资本回报（超出滚动收益率），以及波峰附近的收益率上涨中产生资本损失。因此，实现的债券回报与收益率曲线的陡峭程度相关，并且还与经济活动水平有关。

这些实证结果启发了如下观点，时变的债券风险溢价随着收益率曲线的陡峭程度和其他一些变量而变化。在本系列的第4部分中，我们显示，收益率曲线陡峭程度和实际债券收益率，加上近期股票和债券市场表现的度量，能够预测的月度债券超额回报高达10%。也就是说，债券回报是部分可预测的。对于季度或年度频率的数据，可预测的部分甚至更大。

如果市场参与者理性，债券回报可预测性应反映债券风险溢价的时变性。当债券风险溢价异常高时（由于债券风险过大，或因为投资者过于规避风险）可以预测债券回报也会高。如果长期债券的供应量增加使收益率曲线更加陡峭，并增加所要求的债券回报，债券风险溢价也可能会很高。另一种解释是系统性的预测错误导致可预测性。如果远期收益率真的反映了市场的收益率预期（没有风险溢价），这些预期是不合理的。

当收益率曲线向上倾斜时，它们往往太高，当曲线倒挂时，它们太低。市场似乎重复了昂贵的错误，只能通过不试图预测收益率变动来避免。这种不合理的行为与市场有效性不一致。什么样的预期错误可以解释收益率曲线形状和随后的债券回报之间观察到的模式？一个解释是市场对通货膨胀消息或货币政策行动速度的预期延迟反应。例如，如果利好的通货膨胀消息降低了目前的短期收益率，但对未来收益率的预期反应迟缓，收益率曲线变得向上倾斜，随后债券回报变高（好消息的影响充分反映在收益率预期和长期收益率）。

由于预期不可观察，我们永远不知道回报可预测性在多大程度上反映了时变的债券风险溢价和系统预测误差。学术研究人员试图开发模型，将可预测性解释为所要求回报的理性变化。然而，收益率波动率和其他明显的风险度量似乎几乎没有预测未来债券回报的能力。相比之下，预期回报中观察到的反周期模式表明了风险规避水平的理性变化，尽管它们也可以反映市场情绪的非理性变化。使用调查数据代表市场预期的研究得出结论，风险溢价和非理性预期有助于回报可预测性。

投资实践
如果债券的预期回报随时间而变化，则历史平均回报包含关于未来回报的信息，与当前经济环境的指标（如当前收益率曲线中的信息）相比较少。原则上，远期收益率结构中的信息是固定收益投资者研究的核心问题之一。如果远期收益率（经过凸度偏差调整）仅反映市场的收益率预期，如果这些预期是无偏见的（平均来看将会实现），则所有政府债券策略将具有相同的短期预期回报。追求收益率的活动（如收敛交易和相对价值交易）将是浪费时间和交易成本的。之前的实证证据表明，情况并非如此：债券回报是部分可预测的，长期来看追求收益率的策略是有利可图的。然而，由于债券回报的可预测部分小而且不确定，因此可以将其他预测变量与收益率组合使用或进行分散化投资。

在实践中，关键问题可能不在于远期收益率是否反映收益率预期或风险溢价，而是实际回报可预测性是否存在，谁应该利用它。如果远期收益率（经过凸度偏差调整）反映了无偏的收益率预期，则不存在可预测性。如果可预测性存在并且是由系统性错误的预期引起的，每个人都可以利用它。如果存在可预测性，是由债券风险溢价的合理变动引起的，只有一些投资者能利用机会增加长期平均回报；许多其他人会在“坏时期”中找到更高的预期回报，而不是为更大的风险或更高的风险规避水平提供公平的补偿。只有风险中性的投资者和不典型的投资者，他们的风险感知和风险承受能力与市场上的人不同步，他们会想要利用任何利润机会，而这些投资者不会关心理性的风险溢价或市场的系统性预测错误是否会带来这些机会。

如何解释收益率曲线的曲率
市场曲线形变预期、波动率预期和预期回报结构决定了收益率曲线的曲率。收益率曲线平坦化的预期意味着久期中性的多杠铃-空子弹组合的预期利润，倾向于使收益率曲线上凸（因此，这些头寸的收益率劣势抵消了其曲线平坦化带来的预期利润）。高波动率的预期增加了杠铃-子弹组合的凸度价值和预期利润，再次导致了收益率曲线上凸的形状。最后，相对于短期和长期债券（杠铃组合），市场对中期债券（子弹组合）要求的高回报使收益率曲线更上凸。相反，对于收益率曲线变陡或低波动率的预期，以及对子弹组合要求的低回报，甚至可以使收益率曲线下凸。

在本节中，我们分析收益率曲线的曲率，并重点关注两个关键问题：（1）三个决定因素在改变曲率中的重要性分别是多少？和（2）为什么长期平均来看收益率曲线的形状是上凸的？

实证证据
一些较早的研究表明，收益率曲线的曲率与市场的波动率预期密切相关，推测是由于凸度偏差。然而，我们的实证分析表明，曲率更倾向于随着市场的曲线形变预期而不是波动率预期变化。收益率曲线的曲率大致紧随曲线的陡峭程度变化，可能反映了均值回归的收益率预期。

图5绘制了当近期历史中收益率曲线最陡峭、最倒挂以及最平坦的国债即期收益率曲线。该图表明，历史上低的短期收益率与陡峭的收益率曲线和高曲率（上凸）相关联，而历史上高的短期收益率与倒挂的收益率曲线和负曲率（下凸）相关联。

图6中收益率水平、曲线陡峭程度和曲率月度变化的相关矩阵证实了这些关系。陡峭程度与短期收益率水平呈负相关（但与长期收益率水平几乎无关），反映出陡峭程度与牛陡和熊平而不是牛平和熊斗之间更高的相关性。然而，我们专注于陡峭程度变化和曲率变化之间的高相关性（0.79）。这种关系有一个很好的经济逻辑。我们的曲率可以看作是做陡曲线头寸的收益率Carry，即久期加权的子弹-杠铃组合（做多三年期零息债券和做空等量的三月期零息债券和5.75年期零息债券）。如果市场参与者具有均值回归的收益率预期，那么长期来看，他们预期收益率曲线将恢复到一定的平均形状（略向上倾斜）。然后，非常陡峭的曲线与后续曲线平坦化的预期和做陡头寸的资本损失相关。鉴于预期的资本损失，这些头寸需要提供初始的收益率补偿，这导致了上凸（隆起）的收益率曲线形状。相反，异常平坦或倒挂的收益率曲线与市场对随后曲线陡峭的预期和做陡头寸的资本回报有关。鉴于预期的资本回报，这些头寸可以提供初始收益率损失，这会产生一个下凸（向下隆起）的收益率曲线。

图7示出了我们的曲线陡峭程度和曲率之间的紧密联系。上述均值回归的收益率预期是这种模式的一个可能解释。陡峭收益率曲线的时期（1980年代中期和90年代初）与高曲率相关，因此，对于做陡头寸而言，大量的收益率补偿可能抵消了随后收益率曲线变平的预期损失。相比之下，平坦或倒挂曲线的时期（1979-81,1989-90和1995）与低曲率甚至下凸相关。因此，杠铃组合相对于久期匹配的子弹组合有收益率和凸度优势，当预期收益率曲线朝向其正常形状而变陡峭时，可以抵消其预期的损失。

曲线陡峭程度均值回归的预期影响了大部分收益率曲线的曲率。此外，曲线前端的曲率有时反映了市场对近期货币政策行动及其对曲线陡峭程度影响的强烈观点。历史上，美联储等央行已经试图通过逐步调整收益率来平滑收益率行为。这种收益率平滑政策使中央银行的行为部分可预测，并导致短期收益率行为正的自相关性。因此，如果中央银行最近开始放松（收紧）货币政策，可以合理地预期货币宽松政策（紧缩）将继续，曲线将变陡峭（平坦）。

在早期的文献中，收益率曲线曲率主要与波动率水平有关。Litterman，Scheinkman 和 Weiss 指出（《Volatility and the Yield Curve》，Journal of Fixed Income，1991），较高的波动率应使收益率曲线更加上凸（由于凸度效应），并且收益率曲线曲率和国债期货期权的隐含波动率之间存在着密切的关系。然而，图8显示，曲率和波动率之间的关系仅存在于研究的样本期间（1984-88）。有趣的是，1980年代中期没有发生经济衰退，收益率曲线变化同步性相当高，变平或变陡的预期可能相当薄弱。这种关系在1984-88年度之前和之后不成立，尤其是在近期的经济衰退时期，这时美联储活跃，市场理性的预期曲线形变。例如，1981年的收益率波动率非常大，但收益率曲线是下凸的（向下隆起），见图5和图13。似乎市场对未来曲线形变的预期是收益率曲线曲率的重要决定因素，而不是其波动率预期（凸度偏差）。我们测算的曲率与曲线陡峭程度的相关性约为0.8，而与期权隐含波动率的相关性约为0.1。因此，基于收益率曲线曲率的隐含波动率估计与基于期权价格的隐含波动率并不密切相关。使用收益率曲线形状导出隐含波动率可导致负的波动率估计，这种不合理的结果发生在简单的模型中，当曲线变陡峭的预期使得收益率曲线向下隆起时（见本系列的第5部分）。

现在我们转到第二个问题：“为什么收益率曲线的长期平均形状是上凸的？”图9显示，在28年的样本周期内，平均到期和即期收益率曲线均呈上凸。回想一下，上凸形意味着，平均来看远期收益率隐含着收益率曲线变平（这将抵消中期债券相对于久期匹配的杠铃组合的初始收益率优势）。图10显示，平均而言，隐含的平坦化并没有被充分实现。毫不奇怪，变平和变陡倾向于随着时间的推移而逐渐消失，但上凸即期收益率曲线的形状已经相当持久。事实上，隐含和实现的曲线平坦化之间存在显着的正相关，但图10中的平均预测误差揭示了过于隐含平坦化的偏差。当我们将样本依据陡峭与平坦或收益率上升与下降的情形分解成子样本时，这一结论是成立的。

图10显示，平均来说，曲线平坦化引起的资本回报并未抵消杠铃组合的收益率劣势（相对于久期匹配的子弹组合）。更合理的可能性是，杠铃组合的凸度优势抵消了其收益率劣势。我们可以通过检查凸度对实际回报的影响来评估这种可能性。经验证据表明，凸度优势不足以抵消收益率劣势（参见本系列第5部分的图12）。或者，我们可以检查历史平均回报的形状，因为实现的回报应该反映凸度优势。这种凸度效应当然是对典型收益率曲线形状的部分解释，但只有久期匹配的杠铃组合和子弹组合具有相同的预期回报，才是唯一的效果。同样地，如果债券风险溢价随久期线性增长，久期匹配的杠铃组合和子弹组合的平均回报在长时间的中性时期应该是相同的（因为杠铃组合的凸度优势恰好抵消了他们的收益率劣势）。第3部分图1的平均回报曲线形状以及第5部分图11中的平均杠铃-子弹组合回报表明，子弹组合比久期匹配的杠铃组合具有较高的长期预期回报。我们还指出1968-95年期间合成零息债券头寸的历史表现：4年期零息债券的平均年化月度回报为9.14%，而久期匹配的杠铃组合的平均回报逐渐下降（3-5年期组合为9.05%，2-6年期组合为9.00%，1-7年期组合为8.87%）。总体而言，考虑到样本中平均来看曲线平坦的比例为零，收益率曲线典型的上凸形态可能反映了凸度偏差和债券风险溢价曲线的上凸形态，而不是系统的曲线变平预期。

解释
曲线形变预期和凸度偏差对收益率曲线形状的影响很容易理解，但债券风险溢价曲线的上凸形态更令人困惑。在本小节中，我们探讨为什么子弹组合应该比久期匹配的杠铃组合具有微弱的预期回报优势。一个可能的答案是，久期不是有意义的风险度量。然而，我们发现即使作为回报波动率的函数平均回报也是上凸的，这表明需要一个多因子风险模型。我们首先详细讨论各种基于风险的解释，然后考虑观察到的均值回归模式的替代“技术性”解释。

所有单因子期限结构模型认定预期回报随着债券对风险因子的敏感性而线性增长。因为这些模型假设债券回报完全相关，所以预期回报应随回报波动率线性增加（无论风险因子如何）。然而，只有所有债券具有相同的基点收益率波动率，债券久期才与回报波动率成比例。平均回报-久期曲线的上凸形状也许是由（i）预期回报和回报波动率之间的线性关系引起的；（ii）回报波动率与久期之间的上凸关系，反过来又反映了一个倒挂或隆起的收益率波动率期限结构（见图15）。直觉上，实际回报波动率与久期之间的上凸关系将使杠铃组合比久期匹配的子弹组合更具防守（看跌）性。杠铃组合的回报波动率只是其成分回报波动率的加权平均值（给定完美的相关性）；因此，杠铃组合的波动率将低于久期匹配的子弹组合。

图13和14将证明大部分时间内收益率波动率的经验性期限结构是倒挂或隆起的。因此，也许杠铃组合和子弹组合具有相等的回报波动率（而不是相等的久期）才具有相同的预期回报。然而，事实证明，即使我们绘制平均回报关于历史回报波动率的变化，子弹组合的回报优势仍然存在。图11显示了国债各种期限投资组合的历史平均回报（作为回报波动率的函数）。平均回报基于1968年1月至1995年12月和1986年4月至1995年3月的两个相对中性的时期。我们仍然发现平均收益率曲线有一些上凸。注意，通过绘制算术平均回报，我们以保守的方式展示上凸形状；几何均值收益率曲线将更加上凸。

如上所述，单因子期限结构模型假定债券回报完全相关。单因子资产定价模式更为一般化。他们假定实现的债券回报只受一个系统风险因子的影响，但也包含一个特定于债券的剩余风险成分（可以使个别债券回报不完全相关）。由于债券特定风险易于分散，因此只有系统风险才能在市场上得到回报。因此，预期回报关于回报波动率中对应系统风险的部分是线性的。这种区别对于政府债券来说不是很重要，因为它们的债券特定风险很小。如果我们仅绘制平均收益率关于系统波动率的关系，图11中前端将略低，因为较大部分短期国库券的回报波动率是因资产而异。然而，平均收益率曲线的整体形状将保持上凸。

凸度偏差和收益率波动率的期限结构部分解释了平均收益率曲线的上凸形状，但非线性预期收益率曲线似乎是一个额外的原因。图11表明，预期回报关于回报波动率有些上凸。也就是说，长期债券的所要求的回报要低于单因子模型所隐含的。较中期现金流而言，长期现金流的一些有利特性使得市场愿意接受单位回报波动率上较低的预期超额回报。除了收益率水平的风险，我们需要第二个风险因子以解释这种模式。此外，这种模式可能会告诉我们关于第二个因子的性质和风险溢价的可能符号。我们接下来讨论第二个因子的两个流行选项，收益率波动率和收益率曲线陡峭程度。
波动率作为第二个因子可以解释观察到的模式，如果市场参与者总体上偏好保险类型或“做多波动率”的回报。即使不嵌入期权的政府债券也有一个期权特征，因为它们的价格-收益率曲线是下凸的形状。如本系列第5部分所述，凸度价值随着债券的凸度和收益率波动率的感知水平而增加。如果波动率风险在预期回报中没有“定价”（也就是说，如果所有“delta中性”期权头寸都获得零风险溢价），收益率劣势应该恰好抵消较长期债券的凸度优势。然而，图11中平均收益率曲线的上凸形状表明，受益于较高波动率头寸的预期回报低于受制于较高波动率影响的头寸。虽然证据薄弱，但我们发现负的波动率风险价格在直觉上是有吸引力的。国债市场参与者可能特别反对高波动率状态的损失，或者他们可能更喜欢保险型（有偏）的回报，以至于他们接受较低的长期回报。因此，长期债券的低预期回报可能反映出许多投资者给予正凸度的高价值。然而，由于短债券表现出很小的凸度，因此需要其他因素来解释收益率曲线前端的曲率。

作为第二个因子的收益率曲线陡峭程度（或者短期和长期收益率作为两个因素）可以解释观察到的模式，只有当投资者看重时，做平曲线的头寸才会有利可图。我们不认为曲线陡峭程度本身就是投资者担心的风险因子，但它可能倾向于与更根本的因素相吻合。回想一下，平均来看上凸的收益率曲线表明，自融资的做平曲线头寸具有负的预期回报，因为它们对长期收益率（回报波动率的回报较低）比对短期或中期收益率（回报波动率的回报较高）更敏感。理论上这个负的风险溢价可以是合理的，如果做平交易是对“坏时期”特别好的对冲。当被问及什么是坏时期时，学术界的答案是利润的高边际效用时期，而从业者的回答可能是严重衰退期或熊市。关于这个问题的经验证据是混合的。很明显，长期债券在通货紧缩的衰退期（1930年代的美国，1990年代的日本）中表现良好。然而，当可预测和实现的债券超额回报为负数时，它们在1970年代的困境中表现不佳。自二次大战以来，美国长期债券表现与股市表现呈正相关，尽管在1987年10月的股市崩盘期间债券成为良好的对冲。现在转向做平头寸，这些衰退对冲表现并不好，收益率曲线通常在经济衰退开始时已经平坦或倒挂，并在其期间陡峭（参见图4）。尽管如此，做平的头寸通常在收益率上涨的环境中是有利可图的。因此，他们对债券市场进行了合理的对冲。

我们得出结论，与波动率或曲线陡峭程度相关的风险因子可能解释了平均回报曲线的上凸形状，但这并不是唯一可能的解释。“技术性”或“制度性”解释包括流动性的价值（10年期债券和30年期债券的流动性更大，交易成本比11-29年期债券低，当活跃债券在回购市场被“特殊”对待时，可以赚取额外收入）、机构偏好（养老基金可能会接受较低回报的“无风险”长期资产，制度上受限制的投资者可能要求不惜成本的保障一月期国库券的最终安全，中期债券存在较少的自然持有人）、市场参与者的分割（典型的短期持有者可能不如长期持有者更能忍受回报波动率，这可能会导致在曲线前端延长久期能获得更高回报）。

投资应用
从长远来看，子弹组合往往跑赢杠铃组合，虽然不算太多。因此，作为长期策略策，在任何期限内将投资基准和持有的核心国债偏向于中期债券可能是有用的。在短期内，杠铃组合和子弹组合的相对表现差异很大，主要是收益率曲线形变导致。投资者试图在收益率曲线曲率隐含的波动率与期权价格中隐含的收益率波动率之间“套利”，将很难中和这些交易中固有的曲线形状敞口。未来研究的一个有趣的任务是研究如何使用预测因子，诸如收益率曲线曲率（收益率 Carry）、收益率波动率（凸度价值）和利差的预期均值回归，来预测杠铃组合和子弹组合的相对短期表现。

收益率曲线如何随时间变化
《理解收益率曲线》系列中使用的框架非常通用，是基于确定性和近似而不是经济假设。许多流行的期限结构模型允许将远期收益率分解为收益率预期部分、风险溢价部分和凸度偏差部分。然而，各种期限结构模型对收益率曲线随时间的行为做出不同的假设。具体来说，这些模型的差异在于影响收益率的因子的数量和特性、因子的预期行为（短期收益率均值回归的程度和风险溢价的作用）以及因子的非预期行为（例如，收益率波动率对收益率水平的依赖）。在本节中，我们描述与评估与各种期限结构模型相关的若干收益率曲线行为经验特征。

在即期收益率曲线上只有平行偏移的简单模型，构成限制极大和不合理的假设，例如，它不排除负收益率。事实上，它相当于没有均值回归的 Vasicek（1977）模型。所有单因子模型意味着收益率变化在债券之间完全相关。平行偏移假设另外要求基点收益率波动率在债券之间是相等的。其他单因子模型可能存在着曲线上的收益率变化之间的其他（确定性）关系，如可乘性偏移或短期收益率波动率大于长期收益率。需要多因子模型来解释观察到的债券之间的不完全相关性，以及作为回报波动率函数的预期债券回报的非线性形状。

时间序列证据
在我们对实证证据的简短综述中，我们发现应该首先关注各种模型的时间序列应用，然后是横截面上的应用。我们首先检查收益率变化的预期部分，或收益率水平和利差的均值回归程度。如果收益率服从随机游走，现行收益率是对未来收益率的最佳预测，即收益率变动是不可预测的。在这种情况下，（例如）月度收益率变动与月初收益率水平或上月收益率变动的相关性应为零。如果收益率不遵循随机游走，这些相关性不必等于零。特别是，如果收益率是均值回归的，则收益率变化关于收益率水平回归的系数应为负。也就是说，收益率下降应该跟随异常高的收益率水平，收益率上涨应该跟随异常低的收益率水平。

图12显示，收益率在短期内并没有表现出很大的均值回归。收益率变化关于收益率水平的回归系数为负，符合均值回归，但不统计显著。收益率曲线陡峭程度比收益率水平更具均值回归性。均值回归在年度水平上比月度水平更明显，这与均值回归缓慢的观点一致。事实上，收益率变化似乎在短期内呈现出一些趋势（月度收益率变动之间的自相关是正的），直到“橡皮筋效应”开始将远离长期平均值的收益率拉回到平均水平。这样一个长期的平均值可能反映了市场对当前持续性的实际收益率和通货膨胀水平的看法，以及恶性通货膨胀不大可能发生，并且不存在负的名义收益率（在现金货币存在的情况下）。如果我们专注于1990年代的证据（未显示），主要结果与图12相似，但短期收益率比长期收益率更可预测（更明显的均值回归和更高的自相关性），可能反映了美联储的收益率平滑行为。

转移到收益率变化的非预期部分，我们分析（基点）收益率波动率随时间的变化行为。Chan，Karolyi，Longstaff 和 Sanders（1992）在一个有影响力的研究中表明，常见的单因子期限结构模型在两个方面有所不同：均值回归的程度和波动率对收益率水平的依赖。经验上，他们发现均值回归是微不足道的而波动率显著依赖收益率水平。此外，他们发现，评估各种单因子模型在很大程度上取决于波动性假设，最适合美国数据的模型收益率水平敏感系数为1.5。根据这些模型，未来收益率波动率仅仅取决于当前的收益率水平，所以，高收益率预示高波动率。另一类模型，即所谓的 GARCH 模型，规定未来收益率波动率取决于过去的波动率：近期波动率较大和近期的大幅震荡（平均收益率变化）预示高波动率。Brenner，Harjes 和 Kroner（1996）表明，经验上最成功的模型假设收益率波动率取决于收益率水平和过去的波动率。考虑到 GARCH 效应，收益率水平敏感度系数降至约0.5。最后，所有这些研究都包括了1979-82年这一特殊时期，并主导着结果（见图13）。在这一时期，收益率上升到前所未有的水平，收益率波动率的增加更是巨大。自1983年以来，美国的收益率波动率与收益率水平关系不大。

关于债券风险溢价要说几句话。在所有单因子模型中，债券风险溢价是风险市场价格（假定为不变）和债券风险量的乘积。风险与回报波动率成正比，大致是久期和收益率波动率的乘积。因此，假设收益率水平依赖的收益率波动率模型意味着债券风险溢价与收益率水平直接相关。经验证据表明，债券风险溢价不是恒定的，但它们也不会随收益率水平或收益率波动率而变化（见第4部分，图2）。相反，风险的市场价格似乎随着经济状况而变化，如上图4所述。理论和实证证据一致的一点是风险市场价格的符号。我们发现，债券风险溢价随回报波动率的增加而与负的收益率风险市场价格一致（负的风险市场价格和负的债券价格对收益率变动的敏感性共同产生正的债券风险溢价）。许多理论模型，包括 Cox-Ingersoll-Ross 模型，都认为收益率风险的市场价格为负，只要收益率随着市场财富水平的变化而反向变化。

横截面证据
我们首先讨论收益率波动率的期限结构形状及其对债券风险度量的影响，并且稍后描述收益率曲线的各个部分之间的相关性。当我们使用漫长的历史样本周期时，图14中基点收益率波动率的期限结构迅速倒挂。理论模型表明，波动率结构的倒挂主要是由于均值回归的收益率预期。直观地说，如果长期收益率被视为预期未来短期收益率的平均水平，短期收益率的暂时波动对长期收益率的影响较小。波动性期限结构相当缓慢倒挂的观察结果与非常缓慢的均值回归的预期一致。实际上在1979-82年期间之后，波动率的期限结构相当平坦，这由图13所示的短期波动率与长期波动率的比率证明。图14中的子样本证据证实了波动率的期限结构最近已经不倒挂了。波动率结构前端的向上倾斜可能反映了美联储对非常短期的收益率的平滑（固定），而一年到三年的收益率更为自由地随市场收益率预期和债券风险溢价的变化而变化。

收益率波动率期限结构的非平坦形状对各种债券头寸的相对风险具有重要意义。只有当收益率波动率结构平坦时，传统的久期才是适当的风险度量。我们以前指出，倒挂或隆起的收益率波动率结构将使回报波动率曲线成为久期的上凸函数。图15示出了平坦、隆起和倒挂的收益率波动率结构（上图）和相应的回报波动率结构（下图）的实例。隆起的波动率结构反映了1990年代的经验收益率波动率，而平坦和倒挂的波动率结构基于 Vasicek 模型，均值回归系数分别为0.00，0.05和0.10。该模型的短期波动率被校准为与1990年代的三月期收益率（77个基点或0.77%）相一致。从这个数字可以看出，只要收益率波动率的期限结构倒挂或隆起，传统的久期就会夸大长期债券的相对风险。此外，相对风险将会误导投资者，如果假设的波动率结构倒挂（如图14中的长期样本期间），而实际波动率结构平坦或隆起（如1990年代）。

历史分析显示，国债收益率曲线上收益率变化的相关性不是完全的，但通常非常高于货币市场（1968之1995年之间，2到30年期债券收益率的月度相关性为0.82-0.98），即使是期限间隔最远的两点，三月期国库券和三十年期债券收益率的相关性也是相当高的（0.57）。因此，证据与单因子模型不一致，但似乎两个或三个系统因子可以解释收益率曲线的95%-99%波动（参见 Garbade（1986），Litterman 和 Scheinkman（1991），Ilmanen（1992））。根据不同期限债券对每个因子的敏感度模式，三个最重要的因子通常被解释为水平、斜率和曲率因子。

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