收益率曲线波动性的期限结构及管理收益率曲线风险

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[/h1]收益率曲线波动性的期限结构
在现代固定收益管理中，对利率波动进行量化的原因主要有两个。第一，大多数固定收益工具和衍生品都有内嵌期权。期权价值，也就是固定收益工具的价值，在很大程度上取决于利率的波动水平。其次，固定收益利率的风险管理是风险管理过程中重要的组成部分，这主要包括控制利率波动对金融产品价格的影响。
利率波动的期限结构表现的是零息债券在每个证券到期日的收益率波动。波动率曲线（“vol”）或波动率期限结构衡量收益率曲线风险。
收益率曲线上的每一点，利率波动都是不一样的。在对数正态模型基本假设的基础上，利率的不确定性是通过债券收益率在一定时间间隔内百分比变化的年化标准差来衡量的。这种计算方法得到的结果就被称为利率波动，用σ(t,T)来表示，σ(t,T)表示时间t到期期限为T的证券的利率波动。波动的期限结构可以由以下公式表示：

在下面图表中，为了说明波动的期限结构，我们特意选择了在2008年金融危机前结束的数据，避免一些波动幅度的异常情况。
历史波动期限结构:美国国债，2005年8月至2007年12月

例如，图表中三个月期国库券35.15%的标准差是基于0.1015 = 10.15%的月标准差计算的，其年化值为

波动期限结构通常显示，短期利率的波动性大于长期利率。研究表明，短期期限的波动与货币政策的不确定性最为密切相关，而长期波动与实体经济和通胀的不确定性联系最为紧密。此外，短期和长期波动之间的大部分协同运动似乎取决于这三个决定因素（货币政策、实体经济和通胀）之间不断变化的相关性。在2005年8月至2007年12月期间，长期波动低于短期波动，0.25年的波动为35.15%，30年的为11.69%。
管理收益率曲线风险
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[/h1]收益率曲线风险——由于收益率曲线的意外变化而对投资组合价值引起的风险——可以通过几个对收益曲线变化的敏感性衡量指标来管理。对收益率曲线风险的管理行为主要是通过证券或衍生品市场的交易来对估值的风险敞口进行改变（这些细节属于固定收益投资组合管理的范畴，因此不在本文的讨论范围之内）。
有效久期是衡量收益率曲线敏感性的一个可用指标，它衡量债券价格对基准收益率曲线小幅平移的敏感性。另一种是基于关键利率久期，它衡量债券在特定期限内对基准收益率曲线微小变化的敏感性。另外，我们还可以在上一篇公众号文章（收益率曲线因子模型：影响收益率曲线形状的三个因子——水平移动、陡度移动和曲率移动）所讲解的因子模型基础上对方法更进一步。使用后两种方法中的一种，可以识别和管理“形状风险”（即对基准收益率曲线形状变化的敏感性），以及与平行收益率曲线变化相关的风险（通过有效久期可以充分处理这种风险）。

为了使讨论更加具体，我们考虑一个由1年期、5年期和10年期零息债券组成的投资组合，每种头寸市值100美元；因此，总投资组合市值为300美元。考虑下表中所示假设的运动因子集：
年
1
5
10
水平移动
1
1
1
陡度移动
-1
0
1
曲率移动
1
0
1
在表中，平行移动意味着所有的利率都移动相同的量——在本案例中，移动的单位是1。陡度移动是指收益率曲线上长期利率上移一个单位、短期利率下移一个单位，造成曲线形状变得陡峭。曲率移动意味着短期利率和长期利率都向上移动一个单位，而中期利率保持不变。我们定义这些动作的条件是其中任何一个动作都不能是其他两个动作的线性组合。接下来，我们将讨论各个收益率曲线敏感性指标的计算。
由于债券是零息债券，所以每一种债券的有效久期与债券的到期日相同。投资组合的有效久期为各债券头寸有效久期的加权之和；对于案例中这个同权重的投资组合，有效久期为0.333(1 + 5 + 10)= 5.333。
要计算关键利率久期，需要考虑各种收益率曲线的变动。首先，假设一年期利率变动100个基点，而其他利率保持不变；投资组合对这种变化的敏感性为1/[(300)(0.01)]= 0.3333。我们的结论是，投资组合对一年期利率的关键利率久期D₁为0.3333。同样，投资组合对5年期和10年期的关键利率久期D₅、D₁₀分别为1.6667和3.3333。注意，关键利率久期的总和为5.333，这与投资组合的有效久期相同。关键利率久期度量对每个关键利率的投资组合风险敞口。如果所有关键利率的变动幅度相同，那么收益率曲线就会发生平行移动，因此，价值的变化比例就与有效久期保持一致。基于关键利率久期的收益率曲线风险相关模型为

接下来，我们可以根据上一篇公众号文章（收益率曲线因子模型：影响收益率曲线形状的三个因子——水平移动、陡度移动和曲率移动）所讲的收益率曲线运动分解来计算各运动的测度。将D_L、D_S和D_C分别定义为投资组合价值对水平、陡度和曲率因子小幅变化的敏感性。基于这个因子模型，下面的公式显示了水平因子 (Δx_L)、陡度因子(Δx_S)和曲率因子(Δx_C)的小幅变化而带来投资组合价值的变化比例。

因为D_L的定义是对平行移动的敏感性，所以每单位移动（表中平行移动的线）对投资组合价值带来的比例变化是5.3333
=
16/[(300)(0.01)]。对于陡度运动的灵敏度可以如下计算（表中陡度运动的线）。当陡度向上移动100个基点时，将导致1年期利率向下移动100个基点，带来1美元的收益；同时导致10年期利率向上移动，带来10美元的损失。因此，组合价值的变化量是(1
- 10)。D_S是该运动中每单位价格变化带来的组合价值负向比例变化，在本例中是3.0 = -(1 - 10)/[(300)(0.01)]。类似的，对于表中曲率移动的线，D_C = 3.6667 =(1 + 10)/[(300)(0.01)]。因此，对于我们假设的债券投资组合，我们可以使用下列公式来计算组合收益率的风险

例如， x_L = -0.0050，x_S = 0.002，x_C = 0.001，则组合价值变化的预测值为+1.7%。可以看出，在本例中，关键利率久期与水平、陡度和曲率直接相关，并且一组敏感性数据可以由另一组敏感性数据计算出来。我们可以用数值案例来验证这一点
D_L = D₁ + D₅ + D₁₀
D_S = -D₁ + D₁₀
D_C = D₁ + D₁₀

回顾

1.研究发现，解释收益率曲线变化的最重要因素是:
A. 水平。
B. 曲率。
C. 陡度。
2.短期利率下降150个基点，长期利率下降50个基点，这种收益率曲线的移动的最佳描述为:
A．由于水平和陡度的变化导致收益率曲线变平。
B. 由于水平和陡度的变化而使收益率曲线变陡。
C. 由于陡度和曲率的变化而使收益率曲线变陡。
3.短期和长期期限的收益率分别增长100个基点和75个基点，而中期期限的收益率增长了10个基点，这种收益率曲线的移动的最佳描述为:
A.水平。
B.曲率。
C.水平和曲率。
4.典型的短期利率为：
A.与长期利率相比波动较小。
B.比长期利率波动性更大。
C.长期利率的波动性大致相同。
5.假设对于给定的投资组合，关键利率变化可以看作是是1年期、5年期和10年期证券的收益率变化。关键利率久期大约为D1
= 0.50, D2 = 0.70, D3 =
0.90。如果收益率曲线平行移动导致所有收益率下降50个基点，那么投资组合价值的变化百分比是多少?
A．-1.05%。
B．+1.05%。
C. +2.10%。

解答 1: A 是正确的。研究表明，收益率曲线的上下移动可以描述收益率曲线总移动变化的75%以上。

解答 2: B 是正确的。短期和长期利率都有所下降，表明收益率曲线发生了平行移动。短期利率的降幅大于长期利率，表明收益率曲线发生了陡度移动。

解答 3: C 是正确的。短期和长期利率都有所上升，表明收益率曲线发生了平行移动。但是，中期利率的增长低于短期和长期利率，这表明曲线发生了曲率移动。

解答 4: B 是正确的。一种可能的解释是，对长期的通货膨胀和实体经济活动影响长期利率的预期，要比那些与短期利率相关的预期变化得慢。

解答 5: B是正确的。利率下降将导致债券投资组合价值增加:

-0.50(-0.005)-0.70(-0.005)-0.90(-0.005)=0.0105=1.05%。

下次将讲解的内容：
债券的内嵌期权

END

文:边际实验室
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