基于时变波动率及跳扩散过程的期权定价

文：刘富兵陈奥林
来源：留富兵法
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前言
期权市场在中国处于萌芽阶段，就场内期权市场来看，vix.shtml" target="_blank" class="relatedlink">50ETF期权上市已有2年多的时间，虽然规模相比股票现货来说有一定差距，但其流动性提升相当迅速，目前周成交量已超600万张。因此，尽早布局期权相关策略成为量化投资领域所关注的焦点

此前，由于A股衍生品市场处于萌芽阶段，整个市场投资者结构较为单一，基本以机构和成熟的投资者为主。同时，市场流动性相对匮乏，资金容量有限。因此，期权方面的研究相对薄弱，且内容相对较为零散。然而，随着流动性的提升以及未来新品种的推进，市场将提高对期权市场的重视。

本文通过引入基于时变波动率及跳扩散过程的期权定价模型（LRJ），提高期权定价效率，并在此基础上构建日频交易策略。相对于BS模型来说，LRJ模型能够更好的纳入个股时变波动和跳跃的特征，从而提高定价精度。此外，我们也希望以本文为基础，尝试为期权的学术研究策略化打下基础。

基于时变波动率及跳扩散过程的期权定价模型

针对B-S公式的种种缺陷，我们提出基于时变波动率及跳扩散过程的期权定价模型。

假设股票标的符合如下随机过程

相较于B-S模型，基于时变波动率的跳扩散模型的优势在于

（1）对股票分布的假设更为合理。模型既考虑股价连续变动的情况，同时加入Poisson跳扩散过程刻画由重大事件引起的股价突发性跳跃。

（2）假设波动率为时变函数，更好反应由股票价格变动引起的波动率的变动，修正B-S模型恒定波动率的假设。

（3）基于时变波动率的跳扩散模型能够生成正向的隐含波动率偏斜，改进了B-S模型深度实值或虚值期权，以及接近到期日的期权定价存在偏差。

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[h1]模型比较[/h1]
[h2]参数校准[/h2]
在此前基于时变波动率的跳扩散模型中，可以看到模型中有4个参数，分别为,,λ, η。在将模型应用于期权定价前，我们需要通过前一天期权的实际价格对参数进行估算。举例来说，如果我们预测2017年2月6日期权价格，需要选择上一个交易日即2017年2月3日50ETF期权的收盘价作为校准数据。具体来看，2月3日50ETF收盘价为2.342，同时，50ETF期权市场报价中包含4种到期日期权，包括2017年02月22日，2017年03月22日，2017年06月28日，2017年09月27日。敲价范围在[2.05,2.5]之间。

在此基础上，考虑到期权流动性及定价的有效性，我们对于市场买入报价在[0,0.0001]深度虚值看涨期权，剔除这些报价数据。形成全部有效报价。如表2所示，我们对2017年2月3日50ETF看涨期权价格进行汇总和统计，包括数据处理过程。

我们发现，从拟合效果上来看基于时变波动率的跳扩散模型（LRJ）定价效率明显优于B-S模型。首先，针对流动性最大的当月期权，B-S公式定价的百分比误差达到了248.28%，而LRJ模型定价的百分比误差仅有18.74%；另外，对下月和当季到期的期权，LRJ的定价效率都明显优于B-S模型；但是，需要说明的是，由于LRJ模型中加入的跳扩散过程对50ETF指数基金的短期跳跃刻画比较准确，对于6个月以上的下季到期期权的定价效果不及B-S公式。但是，期权的有效报价随着到期时间的延长而递减，并且下季到期的合约几乎没有流动性，因此总体来说LRJ模型的实际效用还是显著的优于B-S模型。

[h2]实际预测情况对比[/h2]
从实际4个到期合约的预测结果来看，基于时变波动率的跳扩散模型（LRJ）在当月、次月、季月合约上都有着不错的预测能力，其相对BS模型来说，精度显著提高。同时，LRJ模型的预测能力针对同一到期日，不同行权价的期权处于较为稳定的状态。尤其在近月合约和季月合约上，相较于BS模型有显著的优势。

基于时变波动率期权定价模型的套利策略
[h1]策略逻辑[/h1]
我们发现基于时变波动率的跳扩散模型相较于B-S公式能够很好的捕捉到50ETF的厚尾性、偏斜、跳、时变波动率等特征，同时也能很好的刻画50ETF期权的隐含波动率偏斜，从而做到精准定价。如果我们能够准确对50ETF期权进行定价，寻找到市场上存在定价偏差的期权，同时通过套利的方法对冲掉标的的系统性风险，就能赚取绝对收益。

[h1]LRJ模型与期权价值状态的关系[/h1]
从表4中可以看出，基于时变波动率的跳扩散模型（LRJ）能够对当日期权的价格进行有效定价，从而在开盘时锁定当日收益。体来看，LRJ模型对实值期权的定价效率较高，胜率可以高达74.5%。相比之下，由于虚值和平值期权的流动性更强，从而定价效率更高，因而模型的套利效率有所下降。但是，借助于虚值和平值期权更高的杠杆效应，其收益率体现出更高的弹性。

[h1]基于时变波动率及跳扩散过程的期权定价模型的套利策略[/h1]
从策略的稳定性以及收益最大化角度出发，综合考虑期权流动性，冲击成本，波动幅度等因素，我们构建了基于时变波动率及跳扩散过程的期权定价模型的50ETF套利策略，具体细节如下：

买卖标的：买入模型价和开盘价绝对差值最大的平值期权，同时卖出模型价和开盘价差价最小的平值期权，

对冲情况：对冲标的delta变动的风险。

交易时间：考虑交易冲击成本，以开盘后三十分钟均价买入，收盘前三十分钟均价卖出

交易成本：期权的手续费目前较高，因此，我们采用双边手续费百一，单边手续费千五。

特殊情况处理：考虑期权到期前两个交易日存在流动性风险，因此对到期前两个交易日进行空仓处理。

由于期权具有较高的杠杆，收益波动较大，因此计算收益时，我们采取收益累加的方式。举例来说，我们每日向策略投入等额的资金进行操作，使得每日期权组合的资金量维持不变。从图7可以看出，基于LRJ模型的套利策略体现出稳定且显著的绝对收益。从2015年2月至2017年6月共计552个交易日中，策略获得了876%的累加绝对收益。此外，从表5也可以看到，策略整体年化收益率397%，信息比率1.63。

[h1]套利策略组合分析[/h1]
期权作为一个特殊的衍生品品种，其相较于股票现货和股指期货来说更为复杂。在实际操作过程中，我们不仅需要控制delta的暴露，也需要控制其他GREEKS的暴露情况。

针对策略组合的风险暴露情况，表6给出对冲了套利组合的希腊字母暴露。可以看到，我们构建的delta套利组合，除了有效对冲掉Delta风险暴露，对Gamma，Vega，Theta，Rho风险也能够基本对冲。

整体来看，组合可以完全对冲掉市场利率波动带来的Rho风险；此外，组合暴露了少许Theta风险，因此随着时间的流逝组合可能获取稍许时间收益。另外，Gamma，Vega风险，组合也能够基本对冲，但是需要警惕市场正向Gamma，Vega剧烈波动带来的负收益。

总结
本文在BS模型的基础上，进一步纳入股价跳跃因素，开发了基于时变波动率的跳扩散模型（LRJ）。从结果来看，LRJ模型相比BS模型，能够更好的对期权进行定价，误差更小。在此基础上，我们通过LRJ模型进行了日度期权策略的构建，并获得了客观的绝对收益。

但是，本文中的策略只应用到了日度的频率，资金容量相对有限。此后，我们将尝试开发不同操作周期的模型，提高策略的多样性。随着期权市场的发展，期权品种在未来扩充后，策略吸引力也会持续提升。

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