隐含波动率动态模型

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上次我们从模型和市场投资者行为的角度讨论了隐含波动率微笑。隐含波动率对交易者来说确实非常重要，因为交易者需要更加精准的定价模型。随着市场成熟，市场价格越来越合理，价格完全由供求决定，定价可能不再依赖定价模型。

因此我们需要去讨论你所能直接观察到的市场价格，其实本质上也就是隐含波动率，对你所观察到的隐含波动率表面进行建模，这个通常被称呼为隐含波动率模型。
什么是隐含波动率表面呢？对于不同T和K的期权来说，隐含波动率通常是不一样的，随着K变动的就是波动率微笑，也就是我们上次在《波动率，你因为谁笑》中讨论的。还有一个维度是随期限的变动，也就是称之为“波动率期限结构”。
从学术研究的成果来看，隐含波动率模型主要有两个角度：一是确定性隐含波动率模型；二是随机隐含波动率模型。我们在这里做个非常简单的介绍：
一、确定性隐含波动率模型
所谓确定性就是说与相关变动是规律性的，比如波动率变动和时间、标的价格还有在值度之间的确定性变动。Derman(1999)提出的“粘性执行价规则”，认为在某些时候对于特定的执行价的期权，隐含波动率是不随时间变化，也就是说在执行价为K，到期剩余期限为T的隐含波动率σ来说，它对平价期权隐含波动率的偏离只和K有关，并且不随时间改变。也就是：

粘性执行价规则下，隐含波动率只和执行价与到期日有关，它和标的价格没有关系。Derman为了改进它，后来就提出了粘性delta规则，认为隐含波动率大小只和在值程度有关。也就是：

在这个规则下，隐含波动率是跟随标的价格变化而变化的。然后到了Daglish，Hull和Suo（2007）进一步放宽假设，将时间的变化加入，人们认为隐含波动率在由在值度（K/S）和期限T-t决定的，公式如下：

确定性规则的隐含波动率模型不对模型引入新的风险源，其本质上其实依然是BS的扩展，刻画的效果不是那么好，但是确定性规则的隐含波动率模型比较简单。不过很可惜的是真实市场里隐含波动率是一个随机变动的存在。

二、随机隐含波动率模型
随机隐含波动率模型引入了新的风险源，比较复杂，我们只做简单的说明，具体的铺开讲的话就留在日后吧。
随机隐含波动率模型，最早是Schonbucher在1999年提出的，他认为随机波动率的变动由几个风险源驱动，当然这些风险源和标的股票价格风险源相关。Schonbucher通过引入无套利条件得到隐含波动率在风险中性测度下隐含波动率的动态过程。Ledoit(2002)，Hull(2007)，Durrleman(2008)对Schonbucher的研究成果进行了扩展，他们发现期限趋于0的时候，平价期权的隐含波动率等于标的股票的瞬时波动率。

（图片来源于wind）

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