拓展转换期权的定价模式

来源：债券圈

现在国债期货整体的基差水平都比较宽，以T1806下的活跃券180004和170025为例，都有一块钱的基差，在2月初的时候还更高，这处于各自基差水平的高水位区域。从市场情绪层面去解释这个现象，就是从去年底开始，现货和期货的调整幅度不一致，去年11月开始到今年2月上旬，170025的收益率一直保持在3.9附近，价格变动非常小，而国债期货同期下跌了1块钱左右，这种波动是非常不对称的，也就造成了基差水平的不断走扩。这一现象给做空基差提供了潜在的空间。
然而做空基差这个潜在收益大约有多少呢？也就是说，基差的合理水平有多少呢？本文主要是想对这个问题做一些讨论并拓展。
国债期货的基差包含两部分，即carry和净基差。carry非常直观，所以上述问题也就演变成了如何对净基差的合理水平进行评价。一旦对净基差的合理水平有了评估，当大幅偏离其内在价值时，构建合理头寸，通过偏离的收敛就可以获取收益。
一种说法是净基差等价于转换期权的价值，其实净基差并非完全等价于转换期权价值。主要原因是，净基差是主观计算出来的，是市场供需形成的真实价格水平。而转换期权是理论上客观存在的，可以认为是国债期货可交割券所内含的一类“价值”，价格围绕价值波动，所以净基差可能高于转换期权价值，也可能低于转换期权价值，两者同时在期货合约到期时收敛至零。
通俗的理解，转换期权的价值是从券A交换到券B可以获得的收益，比如一开始持有A是亏20元，换成B亏10元，交换这个行为就值10元，比10元小也可以接受，但是理论定价就是10元。所以对于转换期权，就呈现以下几个特征：
1、 CTD的转换期权价值最小。因为CTD没有办法再通过“交换”这个行为，获得任何收益，也就是说，如果拿着CTD，那就进入一个换无可换的地步。假设carry一致，也可以推导出基差最小。
2、在到期前CTD转换期权的价值不为零。因为是在到期前，CTD有可能成为非CTD，所以转换期权并非一文不值，还是有潜在“交换”的可能性，只是其可能性最低。
3、到期时CTD的转换期权价值一定为零。因为到期时理性的人不会为买入“交换”这个行为，付出任何的代价，持有CTD交割最划算。
4、相对应的，在到期时，非CTD的转换期权价值一定大于零。因为可以换券交割亏的更少，行为有利可图。
想象两种情形，临近到期时，CTD的价格已经逼近期货价格，券A的价格比CTD的价格稍高，券B比CTD的价格高很多，两者谁的转换期权价值高？显然应该是券B，因为券B的持有人愿意为更换成CTD付出更多的费用，从而减少更多的损失，站在这个角度看，这个费用就是对转换期权定价。所以，评价换券的潜在可能性，正是评价转换期权价值的关键所在。
1情景假设法以上思路就是评估转换期权内在价值的基本思路，即假设各类情形后，考虑换券带来的收益水平（表现为各种情形下可交割券与CTD的价差），比如收益率曲线平移、陡峭时，CTD是否发生切换。如发生切换，被研究标的与CTD之间价差多大，将多种情形综合起来，就可以评判当下这个现券的转换价值。这种方法为是情景假设法，具体是：
1、假设多种情形下的收益率曲线的位置，以及每种可交割券的价格
2、选出上述情况中的最廉券，根据最廉券的carry和转换因子，计算期货的理论价格
3、根据每一种情形下期货的理论价格，再利用现货、转换因子和carry，计算每个现货的净基差，也就是计算非CTD与CTD之间的价差
现在利用T1806计算一下170025的转换期权价值，展示一个简单的例子。假设3*3九种情形下的收益率曲线变动，分别是上行、不变和下行，陡峭、平移和平坦，计算结果如下：

看一下上面的分布，可以发现由于170025是长久期券，整体上收益率曲线越向上，其净基差越小，即沿着表格横向移动。另外，收益率曲线越陡峭，其基差也是越小，即沿着表格纵向移动。
计算出净基差水平来也不是问题的最后一步，以上9种情况，要分别给其假设发生的概率，如果假设曲线陡峭、向上平移的概率越大，理论基差水平就越小。反之，则越大。根据假设的概率水平，分别乘以各自的净基差，就计算出来假设下的理论净基差水平，比如假设收益率曲线上升20bp和陡峭5bp的概率更大（这样假设的原因是认为期货与现货价格会收敛），占各自情形的50%，那么联合分布如下：

按照上述方式计算出来的170025的转换期权理论价值为0.9427，低于目前的1.0592。我们算出的这个理论期权价值，还是处于历史净基差的高位的。如果市场上有看170025基差收敛的观点。上面数据也可以证明，如果整个收益率水平预期50%上行20bp，同时50%的概率陡峭2.5bp的情况下，做空170025基差的理论收益为1.0592-0.9427=0.12。

方法本质上是一个模特卡罗模拟，也为我们进一步拓展这个方法提供了雏形，对于期权定价，蒙特卡洛是必然绕不开的一个弯。
2模拟法仔细看一下，上述方法其实是非常简陋的，情形太少还不方便计算，我们就罗列一下存在的问题和针对问题的解决方案：
1、离散数据集下，情况太少，不同情况假设下计算出来的结果会大相径庭，且用分布图计算过于繁琐。针对以上问题，用python写一个针对不同期货合约下净基差定价函数。拓展情景假设，采用随机冲击的方法，假设利率可以在一定时间内形成一个变动冲击，随着模拟次数的增加，当前假设下的转换期权价值会不断的计算出来。
2、利率分布情况过于极端，假设情形太少。从拟合效果上来看，正态分布或对数正态分布更合适，比较有效的HO-LEE模型中利率是服从对数正态分布的。这里需要假设利率的波动的方差，也就是利率的振幅，这个数据根据历史数据计算。这是个非常关键的数据，直接决定了期权的内含价值。可以这么理解，如果距离国债期货最后一个到期日时间越长，利率越容易出现较大的振幅，那么每个现券都容易出现切换，此时转换期权价值越大。如果就在到期日前一天计算，利率的振幅很小，算出来的各种情况基本都是维持现状不变，所以每一只现券的净基差大致上是维持在当下水平的。
这个方法定义为模拟法，思路是，首先形成一个收益率曲线平移的冲击因素，冲击服从正态分布，然后在形成一个对收益率曲线陡峭程度的冲击因素，重复足够多次后，将均值计算出来，这样一来会比确定性的9种情况会更实际。



按照以上方法，我们对T1806合约下全部可交割券的期权价值进行了简单测算，收益率平移和陡峭的波动均值都是0，方差为测算当中假设的数据，整体上的期权价值同波动程度表现出了很强的正相关性。因为波动的均值是0，整体净基差的排序也没有很明显的变化。

通过这种方法预测了170025在上行均值是0bp，方差是10bp，斜率变化均值为0，方差为5bp情形下，转换期权的内在价值为1.024。
另外，用这种方法计算了收益率曲线平移和陡峭的差异程度，这里举了两个例子，一个是久期较长的170025，另一个是久期较短的150023。收益率曲线接受随机冲击的均值分为两类独立的情形，一类是平移的均值上行幅度越来越大，另一类是陡峭的均值越来越大，计算出来的数据如下表。

可以看出：
1、收益率曲线向上平移和变陡峭时都会显著减少长久期券的转换期权内在价值，提高短久期券的转换期权价值，与之前情景法的结论一致。
2、收益率曲线陡峭对于净基差的收敛程度更大，每5bp陡峭的程度可以贡献0.1467的基差收益，而5bp收益率曲线上行的贡献却微乎其微，上行10bp才可以贡献0.03的基差收敛收益。造成以上现象的原因是目前收益率曲线较平坦，收益率曲线的陡峭化可以极化长短的价格差距，也就是说，换券的潜在收益被提高了。
3最后是基本结论：1、采用模拟法，使得转换期权的定价更为稳定，不会受到情景假设下极端值的影响。要做的是按照历史数据统计未来利率可能上行或者下行的幅度，以及围绕该幅度波动的振幅。所以模拟法的需求比较容易满足，收集收益率曲线的变动历史数据，主要是波动的均值和方差，而情景假设法的问题在于需要对收益率潜在的可能性进行罗列，并赋予权重，相对于模拟法给出的置信区间而言，情景法需要的条件更多，限制更大，对未来的判断也更加固化。
2、预估转换期权价值的核心其实是对收益率波动均值和振幅的预期。从这个意义上讲，对转换期权价值的评估方法其实比较主观，即便是采用模拟法，定价上还是比较主观。但是并不意味着这个方法没有可取之处，如果根据历史收益率走势，找到在不同宏观环境下收益率振幅的置信区间，对转换期权价值的预测成功率会大大提升。
欢迎大家批评指正。
注：
1、本文选择的计算节点是2018年2月13日
2、情景法选自《国债基差交易》，因国内没有月末期权，故将其公式中这一项剔除
3、本文当中计算的净基差水平均是根据自己的假设算的，与万得可能有不一致，误差不大，主要是因为Carry 部分都是要剔除的，影响不显著，为了方便计算而设计。
作者：前海开源基金投资经理蔡宇飞
END

尛魔 · 2018-4-25 22:37:16

这文章难度好大 @债券圈