重磅 | 美式期权定价算法

周豪，北京交通大学数学学士，华南师范大学金融学硕士研究生（指导老师：陈创练），目前在广发期货实习。

【美式期权定价算法】

对于美式期权来说，由于没有解析解，只能用数值解去近似逼近求得。常见的数值解方法有二叉树方法、有限差分法和蒙特卡洛最小二乘法。

二叉树方法最直观。核心参数步数n，在欧式期权定价中，n取值越大，二叉树得到的数值解收敛于BS公式解析解；美式定价只不过多一步判别贴现价值和pay off，取两者较大值，再逐步向前贴现回来即可。二叉树的delta计算其实并不准确，T0时刻的delta其实用的是下一步的价格uS、dS以及对应的期权价格差，下一步其实有时间衰减的，当然n很大时这种衰减太弱而对delta值几乎没什么扰动。在给欧式定价时，二叉树方法需要设置n越大，结果会越接近解析解，当n设置不够的时候结果误差是很大的。算法维度是n!。

再说说有限差分法。这种方法的思想是把BS公式的微分方程变成差分方程来进行求解，核心参数有两个，一个是纵轴的价格差分长度M，另一个是横轴的时间差分长度N。这种方法的本质是求解方程组，从到期时刻开始一直到T0时刻N个时间长度区间对期权的定价在上一步的基础上逐步冒泡，这种方法的好处是delta在一直冒泡到第一列的时候其实已经在这一列反映出来了。而且时间上由于在同一列不会有时间衰减的情况，但是它的精度取决于另一个参数也就是价格差分长度M。这个参数在算delta时比在定价时更重要一些。尤其是在期权快要到期时，慎用有限差分法算delta！一旦M设置不合理，误差可能与真实值都不在一个量级上。这种算法的维度是（M-1）*（N-1）维的。在实际运用中需要权衡程序运行速度和结果精确度来决定参数M、N的取值。为了缩短程序运行的时间，有时可以通过调小M、N的值，再用方差缩减技术去弥补，用控制变量法得到较精确的美式价格=不精确的美式价格-不精确的欧式价格+BS欧式价格。

最后是蒙特卡洛最小二乘法。这种方法用到了资产价格路径模拟，属于纯随机。但本质上也和前面两种类似，也是从后向前推，但又多了一步多项式拟合，用拟合得到的价格与pay off比较确定是否提前行权。这种方法只能用来定价，路径模拟标准不一致，在同一时间点上delta和其他Greeks严格来说是求不到的。

【美式看跌期权的提前行权点】

美式期权由于有提前行权的约束存在，美式put的时间价值永远不可能为负。欧式put在深度实值的情况下时间价值可能为负。

图1  put option price和pay off

由上图可以得到的结论：
1）美式期权价格始终大于欧式；
2）European put与Pay off的交点表示欧式put时间价值为0，交点左上方的集合代表期权处于深度实值状态；
美式put的行权临界点条件是时间价值趋于0，也即期权在t时刻（到期前）的内涵价值等于期权在此时刻的价格，在图中表现为American put与Pay off的切点。

【MonteCarlo模拟价格路径delta动态对冲数值算例】

以期权的卖方为例，用期货来进行对冲。在T0时刻发行一个月期限的美式平值看跌期货期权，具体参数如下：
，二叉树步数设置500步。1000次蒙特卡洛模拟资产价格路径并且每天对冲一次（若有提前行权，则在行权点了结平仓）：

图2  1000条MonteCarlo模拟资产价格路径

初始本金1千万，每张期货和期权合约点数均为1000，手续费按每手10块钱单边收取，T0时刻美式看跌期货期权的权利金按基准波动率上加3%（23%）定价收取：price_T0 = 2.6376.

表1  1000次模拟对冲策略与不对冲总盈亏分布对比（规模：1千万）

均值
方差
1%
5%
10%
不对冲
4008.864
24360.71
-64212.4
-47830.4
-35770.5
对冲
2585.13
4989.618
-12800.4
-5523.54
-3441.94

由表可知，用期货对冲比单纯持有期权不对冲效果好很多，风险显著减小。

图3  一条提前行权（提前平仓）的价格路径和持仓情况

图4  一条未提前行权（未提前平仓）的价格路径和持仓情况

【美式看涨期权】

上面说的算法基本是基于看跌期权来讲的。看涨期权比较特殊，对于无红利的股票期权来说，已被证明了到期之前行使看涨期权永远不会是最佳选择，即使在深度实值的时候。投资者在这时应该是卖掉而不是行使期权。看跌期权提前行使是收入K的贴现，而看涨期权一旦行使，就多了的K的利息支付。
无论是看涨还是看跌期权，它们的pay off都是个凸函数，看跌期权的贴现内在价值过程是一个上鞅，在资产价格较低的时候，这个效应比凸性更重要，从而使提前行权成为了最优选择；看涨期权的贴现过程在风险中性测度下是一个下鞅，即具有上升趋势，增强了pay off的凸性效应，这就使得行使看涨期权永远不会是最佳选择。

但对于有红利的情况又会有所不同，若红利的支付超过K的贴现，那么美式看涨期权就有提前行权的可能，提前行权的时机一般发生在期权快要到期时且红利支付的前一瞬间。

【波动率交易】
说到期权交易，就必须说到现实与BSM的区别。在BSM理论中前提假设有一条：假定资产价格服从几何布朗运动，并且波动率恒定。然而在现实中，这一假设并不成立。尽管波动率存在均值回复的特性，但也不是定值。所以可以说在期权的定价中，除波动率以外所有参数都是固定的，期权交易的本质也就是波动率交易（在期权策略像蝶式套利、飞鹰式套利等上也一样）。这也是波动率微笑产生的一个解释，在BS模型下放宽波动率为常数的假设，资产价格的分布就不是对数正态分布的，出现肥尾现象，低估了深度虚值时期权的价格，于是就产生了波动率微笑。在对冲过程中，尤其是动态下，其他非线性项比如Gamma的影响基本被完全消除，这种情况就看用什么样的波动率进行对冲才能更好地将头寸抹平。然后关于市场波动率的预测，有了EWMA、GARCH……