庖丁解牛：做市商眼中的收益率曲线

来源：Walker的实验室
作者：StochasticWalker

Carry策略是做市商发明的，站在做市商的角度才能看得真切。所以我把收益率曲线剖开来看看。
因为在投资者眼里，收益率曲线，是这样式儿的：

但是，做市商眼里，收益率曲线，是这样式儿的：

正常投资者（real-money long-only）只关心几个关键期限的收益率。把这几个点标在坐标系上，中间随便划拉一下，连起来就是收益率曲线了。因为手里的头寸结构简单，算个久期就是计量指标了。

昨天的美国国债收益率曲线我们先回顾一下各个系统提供的乱七八糟的久期或者DV01的真实意义。

债券一年级课堂上老师讲过，1938年，一个叫麦考林的同学在研究债券收益率的时候定义了久期这个概念：所谓久期，就是收到债券所有现金流平均需要等多久。用数学语言说，麦考林同学定义的久期就是时间的加权平均值：

按照上边的思路，正常投资者是将每个债券作为独立的个体来看，每个债券都有自己的收益率，自己的DV01。这种方法算出的DV01不可相加，因为每个收益率变动的幅度不一定相等（收益率曲线不一定平行移动）。但是这种做法简单直观，对持有债券数目不多、并且以多头为主的投资者，假装DV01可以相加也出不了大事。
但是做市商远没那么走运。作为金融市场的化毒池，投资者不想要的头寸都会甩过来。成千上万笔的交易，管你有没有残段、结构是不是奇异、多空期限是不是犬牙交错，都得接。如果再去关注上万个收益率之间的变动关系，德州农场上的服务器矩阵都得炸。一个几百亿美元资本金的做市商，手里的衍生品头寸动辄上万亿。要是用2年期债券的DV01对冲了10年期债券的DV01，收益率曲线像下图这样尬舞起来，那可以每年进一次破产法庭了。

1990至2015年美国国债收益率曲线这点小问题当然难不倒做市商包养的火箭工程师。因为祖师爷牛顿在研究力学的时候使用了同样的技俩：从复杂的问题中剥离出基本的驱动因子。亚里士多德拍着脑袋说力是维持物体运动的原因，小球不推就不会走。这太符合直觉了，听着就像宇宙真理。但是牛顿偏要把问题拆开看：用摩擦力和推力的平衡解释力是改变物体运动的原因。信了牛顿的邪的工程师，真把火箭喷上了天。

工程师们发现，金融产品无非就是一串确定的或者不确定的现金流。那能不能找到一串头尾相接、互不重叠的利率曲线，通过这个曲线计算出未来每一天的折现因子？这样，不管种族和肤色，只要落在同一天的现金流，就会使用相同折现利率呢？
市场中早已开始交易的远期利率天然地承担了这一历史使命。

根据无套利原则，使用这些远期利率对流动性最好的产品定价，应该等于这些产品的市价。反过来说，我们可以通过流动性好的产品的市价去反推远期利率曲线的值。
我们以银行间市场的IRS曲线为例（国债收益率曲线同理）。流动性最好的产品如下图所示。短端是银行间拆借利率（LIBOR），中端是Eurodollar期货（3个月LIBOR的期货），再远的就是IRS了。

市场可交易的利率产品族谱

至此，收益率曲线已经被我们解剖成最基础的模块了。始解牛之时，所见无非牛者。三年之后，未尝见全牛也。
举个小例子来说明一下它的应用吧。比如我们昨天接客，卖出了一笔1年后到期的互换期权，标的为5年期IRS，名义本金1亿美元。当时delta为0.5，并做了5000万本金1年后起息的5年期IRS进行delta对冲。今天上班一看，delta变0.6了，难道真的要买入一笔1000万本金的、364天后起息的5年期IRS远期来对冲额外的敞口吗？万一还有一笔交易需要卖出一笔3000万本金的、343天后起息的6年期IRS远期呢？
做市商会把这些需要交易的敞口投影到相应远期利率的DV01上，合并之后再考虑要不要对外平头寸。这样既减少了工作了，又节省了交易成本。
如果能将每个远期利率的DV01对冲掉，那交易组合的防守可以说滴水不漏了。
那具体怎么对冲掉远期利率的敞口呢？在美元市场，好歹还有3个月LIBOR的期货勉强可以延伸到10年之后。但是流动性一般到2年期之后就不好了。所以真正的对冲工具还得靠IRS（国债市场就要靠新发国债来对冲）。

这时候该把候场多时的关键利率久期拉上台了（key rate duration，或者key rate risk，其实是关键利率的DV01，但是很多人把久期和DV01混用，我们也不用纠结名字了）。我们发现上边公式右侧计算的恰恰就是交易组合对流动性最好的IRS的敏感度。关键利率久期反应的正是保持其他期限IRS利率不变的情况下，某一个期限的IRS利率变动对P/L的影响。如果每个关键利率久期都对冲掉之后，那么组合对IRS曲线任意形态的变化都不再产生P/L。
有了关键利率久期的加持，交易员就可以精确掌控手里的组合，想关掉哪些敞口就关掉哪些敞口，想保留哪些敞口就保留哪些敞口。曲线的高度、斜度、或弧度都可以随意剥离出来下注。对冲掉没有市场观点的敞口，只留下有竞争优势的敞口做赌注，这不就是对冲基金名字的由来吗？
同样，要想骑乘carry策略，也可以靠精打细算选取曲线上合适的点，获取最优的风险收益。
彼节者有间，而刀刃者无厚；以无厚入有间，恢恢乎其于游刃必有余地矣。
好了，倒腾完这些阅后即瞎的公式后，上个精心调制的玩具模型来愉悦一下心情。
说，现在市场上流动性最好的产品如下（假设都是每年付息一次）：

第二行的产品是一个IRS远期，假装一下真实市场上的Eurodollar futures。
使用最简单的假设（远期曲线pairwise constant），可以根据这些市场产品剥离出如下的远期利率曲线：

图中红色虚线为远期利率曲线，蓝线为即期利率曲线。
我们来试试用这条曲线对各种产品进行估值：

上边四个标绿的产品是用于剥离远期曲线的基准产品，估值都是0，对勾。
接下来计算这些产品对每段远期利率的DV01（此处使用的本金为100，为了避免数字太小看不见，我们把DV01乘以了100）：

如果这些产品是一个交易组合，那么每列相加就是该组合对每个远期利率的DV01。
我们看到，10年期年金的总DV01大约1.4几，2年期IRS的总DV01大概1.9几的样子。如果用2年期IRS来对冲10年期年金的话，看似对冲掉了总DV01，但是其实每个产品暴露在不同期限的利率风险差异非常大，遇到曲线不平行移动，就会承担很大的风险。
交易员想对冲掉某些或者全部的敞口，只需要根据上边最后一个公式，将上表中的远期利率敞口使用逆矩阵的方式投影在可以交易的产品敞口上，从而得到各产品的关键利率久期：

有了这张表，就可以根据自己的risk appetite随意切割头寸。
做交易最好的状态，难道不是心有菩提手有刀？
那么，客官，您想要哪个部位？

END