有趣的期权希腊字母——Delta

安如泰山
信守承诺
期权盈亏的非线性

传统金融工具像股票、期货通常都是线性变化的，即价格上涨1点就增加1点盈利。与之不同期权是一个非线性的金融衍生品，当其对应的标的资产变化时期权的盈亏是非线性的。期权盈亏非线性变化的特性一直困扰很多投资者。

例如买了豆粕行权价2900的看涨期权，豆粕期货价格上涨10点，为什么期权价格有时候上涨5点，有时候上涨2点，有时候甚至不上涨反而下跌。

本期就来讨论一下期权的价格是如何变化的，并介绍量化期权价格变化的一个重要的参数Delta.

期权价格分解

在期权领域，使用最广泛的定价公式是布莱克—斯科尔斯—默顿模型（BSM model）。虽然该模型有很多假设在现实中很难成立，但是它提供了一个比较基准，能帮助我们理解期权的特性。

我们可以利用BSM模型量化期权的价格变化，其表达式如下：

说明:

△V代表期权价格的变化量
△S代表标的资产价格的变化
例如：豆粕期权标的物豆粕期货价格变化；vix.shtml" target="_blank" class="relatedlink">50ETF期权中50ETF价格的变化；
Delta代表标的资产变动1个单位，影响期权价格变化的值
例如豆粕期货价格变化1个点，期权价格变化0.5个点
Gamma代表标的资产方向上变化1个单位，Delta的变化的值
Vega代表期权的隐含波动率变化1个单位，期权价格变化的值
△t代表距离期权到期日时间的变化
Theta代表每过一天期权价格变化的值
“其他”代表了影响期权价值的其他因素，例如Vanna、Volga等，这些因素对场内期权价格的影响较小，可以暂时不用考虑

使用这个公式，就可以通过Delta和Gamma量化出标的资产价格变化（方向性因素）对期权价格的影响。通过Theta和Vega量化出时间和波动率对期权价格的影响，这样期权价格的变化就一目了然了。

金融中通常把Delta、Gamma、Theta、和Vega统称为希腊值。

本期首先来了解下第一个希腊参数Delta。

Delta介绍

图1.显示的是豆粕期权9月行权价2900、3000、3100看涨期权与豆粕期货价格变化的关系。在每一个价格上曲线的斜率就是Delta值，即标的合约价格每变化1个单位，期权价格变化多少。
用数学公式来表达：

说明：假设标的资产价格变化很小, 同时期权隐含波动率和到期时间没有变化。

即Delta是期权价值V相对于标的资产S的偏导数。

图一

假设9月豆粕期货价格是2900，行权价最接近标的价格2900的期权是平值期权，其Delta值等于0.5，即假设豆粕期货上涨10点，Delta对期权价格的影响就是上涨5个点。

从图中也可看出，对看涨期权来说曲线的斜率始终都是正的，即豆粕期货价格上涨在方向上给期权价格的影响都是正向的。此外行权价越低，曲线的斜率越大Delta越大，对标的价格变化越敏感。

因为期权的Delta值在一定程度上反映期权在到期日可以行权的概率，行权价越低的看涨期权行权概率越大，Delta值越大，行权价越高的看涨期权行权概率越小，Delta值越小，而行权价最接近标的资产的平值期权行权的概率是一半其Delta值在0.5左右, 看涨期权Delta的取值范围是0~1。图二

看跌期权与看涨期权相反，曲线的斜率都是负的，即Delta都是负值。豆粕期货价格上涨看跌期权价格应下跌，反之豆粕期货价格下跌看跌期权价格应上涨，看跌期权Delta的取值范围是-1~0。

注意这里仅仅讨论方向性因素对期权价格的影响。在实际交易中豆粕期货价格上涨，看涨期权的价格也可能下跌，因为还有其他因素也会影响期权价格，如隐含波动率等。

最典型的例子就是，豆粕价格小涨同时期权的隐含波动率下降较多，看涨期权的价格反而下降。所以在使用买权入场时，仅考虑方向上的变化是不够的，还要综合考虑当前期权的隐含波动率样态和期权到期时间。

上面提到了Delta可以理解为期权在到期日行权的概率，也可以把Delta理解为用标的资产对冲期权的比例。

例如，买入一手平值看涨期权，Delta值在0.5左右，买入10手Delta值约为5，其实就相当于买入5手标的资产（标的资产的Delta是1），两者在下一瞬时，方向上的盈亏表现是一样的。也就是说如果买入10手豆粕平值看涨期权，可以用卖空5手豆粕期货来对冲。这里强调的时间点是下一瞬时，是因为期权的Delta也是会变化的，这在之后介绍Gamma值时会说明，何况还有Vega和Theta的影响。

由此也可以引出另外一种Delta的理解方式：
Cash Delta

上面谈论的都是较为理论的Delta理解方式，实务上通常使用Cash Delta的形式来表示所持有的期权头寸约当于多少市值的标的物。

图中的例子1手豆粕期货现价2900，合约乘数10，即做多1手豆粕期货对应的货物价值等于29000元。行权价2900平值看涨期权的Delta值0.5，1手期权对应半手期货约当于一半的货物价值，即在此时持有1手2900看涨期权的Cash Delta = 0.5*29000=14500元

豆粕期货价格
约当市值
行权价2900看涨期权
2900
29000
Delta0.5约当于半手期货
1450
14500
合约乘数：10
这样的表述有一个好处，可以清晰的了解此时期权头寸在方向上暴露的敞口。1手是14500, 2手就是29000，而1手期货对应的市值是29000，也就是说如果要使用标的对冲持有的2手期权头寸，只需要卖空市值29000（1手）期货。这种表示方法在期权头寸特别复杂的时候极为有用，省去繁琐的计算过程。

不同月份Delta值特性

以50ETF期权为例:

看涨期权
行权价
7月期权
9月期权
2.7
0.8870
0.7761
2.8
0.7506
0.6769
2.9
0.5640
0.5674
3.0
0.3681
0.4563
3.2
0.0994
0.2604

现在50ETF价格2.9，比较不同月份的50ETF看涨期权发现，对行权价2.9的平值期权来说，远、近月合约Delta值差别不大。但是对行权价较远的3.0、3.2虚值期权来说，相同行权价下远月合约的Delta值明显较大。而对于行权价较低的的2.7、2.8实值期权来说，近月合约的Delta值要大于同行权价远月合约。

这也很好理解，前文提到过Delta可以理解为期权在到期日行权的概率，时间越长价外期权可行权的可能性越大。同理，时间越长价内期权变成价外期权的可能性也就越大。这其实反映了时间对Delta值的影响，波动率对Delta值的影响与此类似。时间和波动率对方向性因素的影响，就是平常很少提及的希腊参数Vanna.

组合中不同月份Delta可以直接相加么？

还有最后一个问题需要解决，在计算组合头寸时，不同月份Delta可以直接相加么？

比如现有的头寸组合是1手9月2900看涨期权多头（9月期货价格2900）和1手卖1月2950看涨期权空头（1月期货价格2950）,两者都是平值合约Delta绝对值都是0.5，此时可以认为组合的Delta等于0么？

这其实涉及到标的资产的期限结构问题，如果说各个合约价格波动幅度大致类似那么是可以相加的，对冲时使用远月合约或近月合约影响不大（不考虑流动性问题）。反之如果各个合约价格变化差异很大，就不行。

像50ETF期权就没有这个问题，因为所有50期权对应的标的资产只有一个就是50ETF，而对于商品期权来说，有些农产品期权的期限结构变化较大，各个合约的价格变化可能相差较大甚至出现反向波动，这时候就不能简单相加Delta值了。

这次主要谈论期权定价公式中对方向性因素Delta的理解，之后还会讨论其他的希腊字母。

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