上个世纪80年代，欧美的银行业处于变革时期，1984年英格兰银行通过了英国银行业从事外汇期权交易的法案。伦敦信孚银行（Bankers Trust）的交易员Mark Standish一直从事固定收益衍生品和相关的套利交易工作。David Spaughton 从1984起年就一直在信孚银行（Bankers Trust），从事系统分析相关的工作。1987年Standish和Spaughton一起在日本东京成功合作开发了“可以在金融行业广泛应用的针对原油平均价格期权进行定价的期权公式”。他们称该类奇异期权，为亚式期权。
Mark Standish Photo from Linedin
亚式期权有着很广泛的应用空间。作为场外期权的一种，亚式期权给予持有人的回报取决于标的资产价格在某预定时段中的平均值。与类似的普通合约相比，对标的资产价格取平均显著降低了亚式期权的价格。具有可以降低事先支付期权费的条款往往都会使期权的交易更加活跃。
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l 一段时间股价的平均值波动率低于股价的波动率。这通常会导致亚式期权的价格低于同等的普通期权；
l 平均值较少受股价突然暴涨暴跌的影响。如果拥有的是一个亚式看涨期权，那么恰好在到期日钱的股价暴跌不会造成任何损失；
l 同单一股价相比，一段时间内的平均数更难操纵。亚式期权显然可以用在易于操纵、交易量小的标的资产上；
l 如果在长时间内具有连续且高度可预测的风险暴露，那么可以用平均标的价格期权来锁定商品价格或者汇率；
l 商品或者能源的终端用户常常会面临一段较长时间中平均价格的风险暴露，因此亚式期权更具有明显的吸引力（亚式期权常常被认为是原油市场中的普通期权）；
具有一系列外币现金流的人（比如出口商）可能会购买亚式期权，他们希望对冲掉汇率的波动。也有亚式尾部期权被设计用来减小到期日前标的资产价格突然变动的风险暴露；一些养老金计划具有这样的特征。
简单来说，亚式期权是一类回报类型由某一段时间内的平均值决定的期权合约。P. Wilmott和E.G. Huang指出，亚式期权在OTC的能源市场或者其他流动性较差的商品期货市场较为普遍。事实上，平均值会减少价格的波动，和障碍期权类似，比常规的欧式期权要便宜。
亚式期权可以分为这样几类，平均价格或者平均敲定价格。
1. 回报类型
假定现在已经定义了平均值A，哪些回报形式是最常见的？除了看涨、看跌等分类外，也有平均对象是执行价（strike）还是标的价格（rate）的分类。这些分类如下所示，比如普通看涨期权的回报为：
max(SE,0)
将执行价E替换为平均值就成为了平均执行价看涨期权（average strike call），回报为：
max(SA,0)
而平均执行价看涨期权（average strike put）的回报为：
max(AS,0)
将普通期权回报中的标的资产价格替换为其平均值，就得到了标的价格期权。比如，平均标的的价格看涨期权（average rate call）的回报为：
max(AE,0)
平均标的的价格看涨期权（average rate put）的回报为
max(EA,0)
如果面临一段较长时间中连续且高度可预测的商品价格或汇率的风险暴露，可以使用平均标的的价格期权来锁定价格。
从定价角度来说看涨期权与看跌期权的区别是简单的，但执行价/标的价格是一个较大的区别。执行价期权更容易用数值方法求解。
2. 平均值的类型
要准确定义亚式期权合约中使用的平均值依赖于两个因素：数据点是如何组合为平均值和使用哪些数据点。前者指的是要使用算术平均、几何平均还是其他更复杂的平均，后者指的是在计算平均值时要使用多少个数据点，是使用全部报价还是只是使用一个子集，以及针对哪个时段。
2.1 算术还是几何
两种最简单常见的平均值类型是算术平均（arithmetic average）和几何平均(geometric average)。价格的算术平均是将所有价格等权重加和，除以所使用的价格总数目，再去指数。另一种常见算则是指数加权平均，意思是在计算平均时价格之前不是等权重，而是以指数递减的方式对新的价格赋予比旧的价格更高的权重。
2.2 离散还是连续
计算平均值时要使用多少数据？是使用全部的成交价还是只使用一个子集？如果使用的是一段有限时间内紧密排列的价格，那么在计算平均值的过程中使用的和式就是资产价格（或者函数）在该时间段的积分。这样得到的是连续抽样平均（ continuously sampled average）。 更常见的情况是我们只使用了一些可靠的数据点，比如收盘价这种更小的数据集合。这称为离散抽样（discrete sampling）。
支付类型看涨看跌平均敲定价格期权max (S-A, 0)max (A-S, 0)平均标的价格期权max (S-E, 0)max (E-S, 0)
3. 求解方法
同以前一样，在实际定价时我们希望在蒙特卡罗模拟和偏微分方程方法当中进行选择。二者各有优点和缺点。先介绍蒙特卡罗模拟计算平均价格亚式期权，再通过偏微分方程对连续型几何平均价格的欧式期权进行定价这一种形态，未来我们会介绍离散类型的形态。
蒙特卡罗模拟
期权价值是在风险中性随机过程下回报期望值的现值。
定价算法具体如下。
（1） 以今天的价格水平为起点，模拟资产价格在要求的时间范围内的风险中性随机过程。这样可以得到标的资产价格的一条实现途路径。
（2） 基于这条实现路径计算期权的回报。
（3） 在要求的时间范围内模拟更多的实现路径。
（4） 计算全部实现路径的平均回报。
（5） 计算该平均回报的现值，即为期权价值。
1， 蒙特卡罗模拟的优点
编程很简单。
编程中不易犯错。
2， 蒙特卡罗模拟的缺点
要得到希腊字母需要更多的计算量。
计算过程可能会很慢，因为要得到精确解需要进行上万次模拟。
后面几节我们将讨论偏微分方程方法。但是在此之前，先来看看它优点。
3， 偏微分方程方法的优点
比蒙特卡罗模拟快
更灵活，比如说允许使用更高级的波动率模型
对提前执行处理较好
4， 偏微分方程途径的缺点
编程比蒙特利罗模拟要难
扩展布莱克—斯科尔斯方程
连续抽样平均
我们给出了资产价格随机过程的一条已实现路径及其连续抽样的算术移动平均值， 该平均值定义为：
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给出了资产价格随机过程的一条已实现路径及连续抽样的几何移动平均值。其中连续抽样几何平均值的定义为
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价格几何平均亚式期权的解析解如下：
1. 几何平均的价格看涨期权
期权回报为max(AE,0)，红利率为D
其中A是连续几何平均值。该期权的价值可以求解得到为：
其中
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专访亚式期权定价模型的开发者
David Spaughton
上一篇文章，我们了解到了亚式期权的一些特性，这篇我们很有幸翻译到了一篇对亚式期权定价模型的另一开发者David Spaughton的采访，让他谈谈自己从事金融工程师的职业之路。他出身并非名望，开始的学校也不算出名，本着求知若渴的求学态度，和对数学的痴迷，David从最初的工程管理咨询顾问变成了解决各类衍生品定价模型的金融工程师，再到专业团队的组建，让我们看到了这个职业的兴起和要求，希望对大家有帮助。
著名诗人托马斯艾略特曾经被邀请向年轻诗人做一些建议，他的回答很幽默，“在银行找一个稳定的工作是最好的建议”。David Spaughton现在就职于一家欧美的顶级银行-但是他没有像大多数银行雇员那样一辈子在柜台后面工作，而是就职于瑞士信贷第一波士顿—开发和维护期货市场交易所用的系统软件。David在他伦敦的办公室接受了采访，和我们聊一聊他的职业之路。
我们也有幸见到了他的团队成员—Anton Merlushkin，在攻读博士学位之前，他在莫斯科大学主修应用数学和物理。Anton在与David一起研发金融建模软件之前，曾经做过一段时间交易员。
我们让David谈了一下他的大学，以及他在大学所修的课程体系。
“我的教育背景有点奇怪。我十六岁的时候最先在莱卡锡尔的史丹利豪斯特学院学习，后来我在第四年申请到了去剑桥继续学习的机会，我开始学习纯数学，应用数学以及物理，都拿了A，然后申请在剑桥学习工程学。”“当时主要是父母十分鼓励我去大学进修，但是我的父母都从来没有在大学学习过”。
那么多主修的课程得A似乎有点奇怪，当时最开始应该是选择工程学作为第一专业。David告诉我们他的主要兴趣是物理学，选择工程学应该是从务实的角度—有了工程学学位就可以找到赚钱的工作。后来对数学越来越有兴趣—在热动力学和流体力学领域他不止一次涉及到微分方程。很多人进大学学习的前三年就是想知道自己所学的专业是否有用。但是，David对数学越发有兴趣。开始工程学的前两年主要是学习基础课程，但是到了第三年有了更多的选择，David选择了商科方向的运筹学和统计学。
很少有学习工程学的人会成为“那样”的工程师，穿着保护靴和保护帽，对于David，他未来涉足金融行业的职业之路不久就出现了。毕业之后，他选择作为管理/工程咨询师为W.S.Atkins公司工作，而且从1975到1982年就一直在那里工作。在这段期间，他开始开发相应的计算机程序来帮助大型钢铁公司进行规划。“很多钢铁公司当时都在发展中国家，世界银行会向这些国家贷款，所以希望这些贷款的公司能聘请管理咨询公司检查这些款项是否被用到了正确的地方。所以—我从那个时候渐渐涉足金融领域。”
“从那之后的工作就越来越多地应用到了数学的知识”1984年，David开始在伦敦信孚银行工作。当时正好是英格兰银行通过了法令，允许银行业在英国的金融市场从事外汇期权的业务。信孚银行当时招聘系统分析师，这一下改变了我的职业之路。从那个时候开始，人生开始更多得和数学打交道了！
开始David最为核心的工作就是Black-Scholes方程，应用该方程可以让交易员快速地为期权定价。和大多数的偏微分方程一样，方程的解取决于很多因素—或者边界条件—结果其实并不简单！需要大量的计算来为交易员提供报价。在1985年信孚银行开始进行外汇期权交易，1986年David搬到了东京，开始从事日经指数相关的期权定价工作。
80年代是期权交易的关键时期。发现了Black-Scholes模型来进行期权定价唤醒了大量的金融交易，IBM个人电脑似乎成为每个交易员的标准配置来为实时地报价提供计算。
到了90年代，David回到了伦敦的瑞士信贷金融产品部门，来组建一只团队帮助全球的衍生品开发定价模型，就像今天所有的交易员和市场人员都会使用模型来修正衍生品的报价。新的工作还是花了很大力气，现在David领导着35人的团队。这个工作，告诉我们，“随着个人电脑的广泛使用，对计算能力的要求也越来越高！随着市场的有效性回归，必须要求对更多的风险因子进行考虑。工作的挑战性也越来越大。”
我们谈到了团队的组建，开始招募一些人员。David告诉我们在这35个人的团队中，只有三个人过去有金融市场的从业经验—剩下的人都是直接从学校招聘的。他们都有博士学位么？“没必要都要有博士学位，但是应用数学方向会更有帮助。这些从英国招聘来的新人大部分都有工程师背景，从美国招聘来的主要有物理学的背景。”David强调不一定每个人都要有博士学位，但是获得博士学位的人看起来要成熟一些—具备更好的计算能力。他们具备更好的数学建模能力，就可以直接来我们的团队工作。
我们问了David一些有关现在工作的一些问题，例如市场的总体情况是否正确，工作的时间是否很长或者很有压力，或者会赚很多钱？他先从钱这个话题回答了我们，开始的时候博士雇员的收入会很高，但是几年之后就是靠奖金分红来获益—所以收入很不错。工作时间都很长差不多十一到十二个小时每天，开始工作的时候都是要学很多的。“压力是一个重要的因素”，David说，“但是要知道，这间房里面都是选来在高压环境下工作的”。我们问David是不是管理这样的团队也要每天花十几个小时，“也不是—我最近有了小孩—生活发生了改变—有时候我回去地很早—但是经常在家里的电脑前工作到晚上。”
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回到招聘的话题，我们询问了David有关团队中性别比率的问题。“这项工作向女性开放，我们也愿意招聘更多地女性。但是，目前还没有招到计划中的数量。我们最近发了一些招聘广告，收到了400份申请，女性只有10位。”我们还是希望找到具备优秀计算能力的人，；另外也需要具备能够运用C++编程技术开发稳定高效程序的人员—这块需要相当地经验。我们现在有一部分人具备这一块的经验，如果思维方式正确，学习另一门语言会很快。
很难想象这个团队是如何投入地工作的。我们不知道完成的工作是不是新的—当团队做完研究，是否还需要扩展。开始的时候很难，只有三个人和我一起在东京做类似的工作。现在有三十多个人。现在可能没有当时那么刺激，以及没有开始那么有创造力。但是仍然有不少挑战。速度和效率依然重要。交易员希望更快更好地得到结果。
所以，想象一下，新人加入David的团队—他的职业之路会是什么样？或者说这是他们一辈子要从事的工作？看起来这是个稳定的团队！80%的人都还在和我们一起工作，也有一部分去了别的公司。但是，大部分离开的人员都内部转去做了衍生品交易或者从事相关工作—成为产品的使用者，而不是开发者。
我们问了David他对未来新工作产生的看法，“大部分的工作都是由技术驱动的，计算机让我们变得更强大，他们的运算速度也越来越快。开始的时候我们的客户只有几家大的机构，或者政府部门。现在越来越多的中小机构开始参与进来—我们也开始为越来越多的零售客户服务！随着互联网的发展，我们还有很多未达的领域等着我们去开发。”
所以，你们怎么看待银行的工作？
来源：期权世界
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