欧式与美式期货期权的Greeks特性分析

文 |  范林燕朱九界，  编辑  |  赫桥智库
来源  |  期货日报

导读：本文对比了使用二叉树模型计算得到的美式期货期权Greeks与使用Black模型计算得到的欧式期货期权Greeks之间的差异，发现二者之间除深度实值部分外，无明显区别。考虑美式期货期权无解析解，因此在对其Greeks进行大致分析时，为了方便起见，使用简易的Black模型是合适的。

一、期权定价模型
目前国内已经上市或计划上市的期权品种中，vix.shtml" target="_blank" class="relatedlink">50ETF期权为欧式现货期权，大商所的豆粕期权、玉米期权，以及郑商所的白糖期权、棉花期权均为美式期货期权，而上期所的铜期权则为欧式期货期权。期权类型不同，理论定价模型也不尽相同，我们常用Black-Scholes-Merton模型（简称B-S模型）为50ETF期权定价，铜期权同为欧式期权，将B-S模型中的S替换为F，即可得到Black(76)模型。豆粕期权、玉米期权使用BAW模型定价，白糖期权、棉花期权使用二叉树模型进行定价。
为了更好地运用期权进行投资和风险管理，除了选择合适的模型和波动率对期权价格精准定价外，还需要计算出期权头寸暴露出来的敞口大小，也就是Greeks，其在精度方面不如定价要求高。美式期货期权不具有解析解，计算相对复杂，而欧式期货期权的Black模型具有解析解，为了方便计算和观察Greeks特征，是否可以使用Black模型对白糖、豆粕等美式期货期权的Greeks进行近似计算呢，而这可能存在多大的偏差？这是本文探讨的重点。
在本文的分析当中，笔者假设无风险利率为4%，波动率为20%，对行权价为5000元/吨的白糖期权分别使用二叉树模型和Black模型，计算了欧式和美式期权Greeks随标的期货价格的变化情况，了解Greeks特征，并将两个模型计算得到的Greeks值加以对比，分析存在的差异及背后原因。
二、期权风险度量指标
（一）Delta
Delta反映了期权价格相对于标的价格的敏感程度，下图是看涨期权与看跌期权的Delta曲线。实线为Black模型下的Delta，即Delta（Black），虚线为二叉树模型下的Delta，即Delta（二叉树）。

对于看涨期权来说，Dleta为正值，其波动范围在0到1之间。看涨期权的实值程度越高，Delta值越大。平值看涨期权的Delta值接近0.5，当看涨期权处于深度实值状态时，Delta趋近于1，处于深度虚值状态时，Delta则趋近于0。

看涨期权Delta与看跌期权Delta存在如下等式关系：Delta（P）=Delta（C）-1。因此，对于看跌期权来说，Dleta恒为负值，其波动范围在-1到0之间。看跌期权的实值程度越高，Delta绝对值越大。平值看跌期权的Delta值接近-0.5，当看跌期权处于深度实值状态时，Delta趋近于-1，处于深度虚值状态时，Delta则趋近于0。不同状态的Delta值可以概括为：

另外，将两个模型下的Delta值进行对比发现，整体趋势上看，用不同的模型计算出来的Delta值无较大差异，但在实值部分存在着明显区别。
为了便于观察，我们将Delta（二叉树）与Delta（Black）做差。随着在值程度的提高（期权越是实值，在值程度越高），二者差距以加速度方式在逐渐扩大，而当在值程度超过一定阈值时，差距又逐渐缩小。

为了避免虚值期权与实值期权的Delta绝对水平不同带来的影响，我们同时也计算了二者之间的相对大小，即通过Delta（二叉树）/Delta（Black）-1得到。总体来说，两种模型计算出来的Delta值存在一定差别，但差别控制在2%以内，意味着差距不大。

具体分析，可以发现对于虚值10%以上的期权，Delta（二叉树）的绝对值小于Delta（Black），且越是虚值差别越大；而对于平实值期权而言，Delta（二叉树）的绝对值反而大于Delta（Black）。这点我们可以从期权的有效期角度做出解释。

美式期权与欧式期权的区别在于美式期权可以在期权持有期的任意时间点行权，而欧式期权只能在到期日行权。从这个角度出发，我们可以发现对于同一到期日的美式期权和欧式期权，由于美式期权存在部分提前行权的情况，其平均存续期要小于欧式期权，那么我们可以将美式期权视为一个剩余期限较短的欧式期权。
某种程度上，Delta可理解为到期日成为实值期权从而被行权的概率。剩余期限越短，意味着一切即将尘埃落定，虚值期权转为实值期权的可能性越低，Delta值越小；而实值期权保持其原有状态的可能性越高，Delta值越大。因此，对于虚值期权来说，在“较短剩余期限”下的Delta（二叉树）比持有期更长的Delta（Black）更低；对于实值期权来说，在“较短剩余期限”下的Delta（二叉树）则比持有期更长的Delta（Black）更高。
另外，从图中可以观察到，两个模型的Delta之差存在一个拐点，当实值程度超过一定阈值以后，差值开始缩小，这点可从Gamma值角度进行解释。
（二）GammaGamma反映了Delta相对于权利金变化的边际量，Delta曲线是Gamma曲线的积分，两个模型的Gamma曲线不同，将引起我们上述观察到的两个模型之间的Delta存在差异。
在欧式期权由实值变为虚值的过程中，Delta曲线的变化速率呈现出先增大后减小的趋势，对应的Gamma曲线也呈现出先增大后减小最后无限趋近于0的形态。然而在上文中我们观察到了美式期权深度实值部分的Delta曲线较欧式期权存在明显差异，那么对应的实值部分美式期权的Gamma曲线是怎样的呢？
我们可从两个模型的Gamma曲线中观察到，相同在值程度下看涨期权和看跌期权的Gamma值相等，且对于欧式期权而言，Gamma值呈现对称的结构，但是对于美式期权，并非完美对称，而是在实值位置有所偏离。在实值区域，二叉树模型下的Gamma高于Black模型下的Gamma，但超过某一个阈值以后，二叉树的Gamma又迅速减小到0，而这一阈值与实值期权的Delta差开始缩小的阈值相吻合。

另外，两个模型下的Gamma值随在值程度的表现也与Delta情况相近，且二者之间整体差距较小。因此，在使用标的对期权进行对冲时，相对于欧式期权，美式期权买方可以从Gamma中赚得更多的收益，对应的期权卖方亏损更多。
对于实值美式期权，在超过某一个阈值之后，Gamma（二叉树）恒等于0，同时Delta（二叉树）恒等于1，可以发现在不考虑Vega和Theta的情况下，持有这样一个看涨（看跌）期权就相当于持有一个期货多头（空头）。由于相对于欧式期权，美式期权具有可以提前行权的特点，那么是否在超过一定阈值以后，美式期权的持有者理论上一定会选择提前行权将期权头寸转化为期货头寸呢？我们将从Theta和Vega的角度来探讨这一问题。
（三）Theta
Theta体现了时间因素对期权价格的影响，随着时间的流逝，期权价格将逐渐衰减，因此Theta通常表现为负值。不同于B-S模型下的Theta值，对于期货期权而言，无论美式或是欧式，看涨期权与看跌期权的Theta值是一样的。另外，Theta曲线呈现为中间低两边高的形态，也就是说平值期权的时间价值衰减速度要快于实值和虚值期权。
从下图中可以看出，整体上两个模型计算出来的Theta值之间无明显差异，但当实值程度超过一定阈值时，二者存在明显偏离，主要表现为Black模型下的深度实值Theta均为正值，而二叉树趋近于0，这意味着今后铜期货期权上市后，其深度实值的看涨期权与看跌期权的时间价值均有可能出现为负的情形，而对于当下的白糖期权、豆粕期权来说，因为其为美式期权，时间价值不可能为负，因为一旦时间价值为负，那么期权的持有者就会选择提前行权，将期权头寸转化为期货头寸。

究其背后原因，一方面，持有深度实值期权的资金占用高，从而产生了较高的资金成本；另一方面，越是深实值的期权时间价值越小，若继续持有期权产生的资金成本超过时间价值时，时间越短反而对期权买方越有利，这将导致欧式期权Theta为正。因美式期权可提前行权，若发生以上有利情形，投资者直接行权转化为期货头寸即可，因此Theta归零。
（四）VegaVega反映了波动率对期权价格的影响，波动率越大，看跌期权与看涨期权的期权价格均会放大越多，且二者之间的Vega值相等。另外，持有期越长，Vega值越大；随着在值程度逐渐变大，Vega值呈现先变大后缩小的钟形形态。也就是说，持有期越长、越是接近平值的期权，Vega值越大。
从对比图来看，可以观察到在深度实值部分，二叉树模型下的Vega和Gamma、Theta存在了相似的情况，在超过阈值以后等于0。

三、结论根据以上对比分析，笔者总结出欧式和美式期权Greeks有以下特性：无论是欧式期权还是美式期权，Delta值取值范围固定在-1到1之间，看涨期权Delta值大于0，看跌期权Delta值小于0，越是实值的期权，Delta绝对值越大。因为Delta值体现了期权成为实值的概率，对于不同的在值程度，越接近到期日，Delta值分布越分散，即虚实值期权保持其原有状态的确定性更高。

相同在值程度的看涨、看跌期权的Gamma值相等，对于欧式期权，Gamma值呈现完美对称的特征，但是美式期权在实值部分有所偏离，而这也导致了美式期权的实值Delta比欧式更大。
相同在值程度的看涨、看跌期权的Theta值相等，对于美式期货期权，Theta值恒小于等于0；但是深实值的欧式期货期权Theta值会出现大于0的情况。
相同在值程度的看涨、看跌期权的Vega值相等，对于欧式期权，Vega值呈现完美对称的特征，但是美式期权在实值部分有所偏离，深实值期权的Vega值快速收敛于0。
综合以上所述，我们可以发现，整体来说，欧式期货期权和美式期货期权的Greeks因子之间除深实值期权部分有较多不同，其他无论从趋势或从绝对量来看并无明显差异。基于此，为了方便起见，使用简易的Black模型对美式期货期权的Greeks进行大致分析是合适的，误差范围可控制在1%以内。
（作者单位：永安期货）

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