来源：RGF量化研究
1. 引言
不同于在到期日才可以行权的欧式期权，因为美式期权允许持有人在期权到期日之前的任何时刻执行期权，我们不能用经典BSM公式进行定价，一般对美式期权我们采取数值方法定价，最常用的数值方法有三类：二项式方法、有限差分方法和蒙特卡洛模拟方法。
二项式方法和有限差分方法均为逆向求解的方法，适用于美式期权定价，但是，一旦涉及到多标的资产的情况就会发生“纬度灾难”，相比之下，蒙特卡洛模拟具有更好的性质。
然而，蒙特卡洛模拟采用的是正向求解的方法，我们没有办法比较在每一个时点的当期收益和期望收益大小，从而没有办法判断在每一个时点是否行权，所以，人们普遍认为蒙特卡洛方法只适合有固定行权时间的欧式期权。
![]()
因此，对于美式期权的蒙特卡洛模拟定价最大的挑战就是如何选择行权时间。为了解决这个问题，Longstaff和Schwartz在2001年提出的最小二乘蒙特卡洛模拟法（Least Square Monte-Carlo，简称为LSM方法），该方法目前已成为使用蒙特卡洛模拟美式期权的标准方法。
LSM方法的核心就是通过引入最小二乘法来估计继续持有期权的连续收益的条件期望，通过比较当前执行期权可获得的即时收益与继续持有期权的连续收益的条件期望来决定是否在当前时刻行权，从而可以得到美式期权的最优行权时间，对期权进行合理定价。
本文使用百慕大期权来逼近美式期权，只考虑百慕大离散行权时间点情况，从而对期权定价的问题就转换为对未来每一个固定行权日的期权连续收益的条件期望的估计，当行权时间点的数量趋于无穷大的时候，百慕大期权的价格也就会无限趋于美式期权价格了。下面本文将给出LSM方法的详细介绍。
2. LSM方法的数学背景
LSM方法首先对衍生品所处的金融市场为可行金融市场和完备金融市场，其中：
可行市场（Viable Financial Market）是指金融市场是一个无套利市场，不存在套利机会。
完备金融市场（Complete Financial Market）是指金融市场中的任何策略都可以通过构建另一个策略将其完全对冲，换而言之，可以完全复制该策略任意时刻的现金流。
之后，假设一个完备的概率空间（A,F,P）以及时间窗口[0,T]，其中，A表示时间窗口内可能时间的所有标的资产的价格状态，F代表F-algebra，而P是基于F的概率测度。另外，将风险中性概率记作Q，引入符号C(o,s,t,T)表示美式期权的现金流路径，其中，o为一个路径事件，C(o,s,t,T)需要满足以下条件：
- 不能在t时刻之前（包括t时刻）行权；
- 对任意的s，t |
|
转播
