期权定价、对冲与波动率基础 | 美丽“权”世界公开课纪要

扑克导读：期权，衍生品皇冠上的明珠。国内至今已上市的期权品种：ETF50、豆粕、白糖、铜、橡胶、棉花、玉米，越来越多的大宗商品可以用期权来配合交易。

本期期权破晓系列公开课——美丽“权”世界，我们请到凯丰投资衍生品交易负责人，和你分享凯丰期权内训资料，希望助你找回那些年你错过的交易机会！

友情提醒：公开课已结束，可以通过扑克财经APP直播间观看回放，欢迎你扫码免费参与，一起进入美丽“权”世界吧~


本文作者：孙靖，  编辑：扑克内容团队  张骁川。如需转载请联系扑克作者君（微信：puoker）。更多精彩内容，请下载扑克财经App（iOS及安卓版本均可下载）。

PUOKE 专访  嘉宾介绍

孙靖，FRM，MSc Financial Mathematicsfrom Warwick Business School，4年大宗商品场外衍生品交易经验，2年权益类场外衍生品交易经验，累计名义本金超100亿。

大家好，我是孙靖，现在就职于深圳凯丰投资，负责衍生品交易事务。今天公开课的主题是定价、对冲与波动率基础。第一部分是著名的Black-Scholes-Merton公式，是期权定价和交易领域里《圣经》的角色。第二部分，我想通过动态对冲的交易过程，让大家对希腊字母的理解更深刻一些。让大家了解希腊字母除了数学定义以外，带给交易的含义到底是什么？第三部分是波动率这个相对抽象的概念以及它对交易的作用。第四部分通过一个案例，去抛砖引玉，打开大家对于波动率交易的思维。

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再认识Black-Scholes-Merton

现在我们把期权问题简化一下，举一个骰盅游戏的例子，来看金融工程师是怎么对衍生品做定价的？游戏规则很简单，从骰子的1到6中选一个数字M，我们约定一个月后掷一颗骰子，出现的数字是N。如果N大于M，可以赚取差额，其他情况是不挣不亏的。这个规则设定很像我们的看涨期权，数字M就相当于交易期权的行权价，最终出现的结果N，就像标到期日的价格。这个骰盅问题的解法是基于基础概率方法的。骰子如果是公平的话，它出现1到6的数字的概率都是1/6，是一个均匀的分布。

假设我们当初选的数字M是3的话，我们看一下如果玩这个游戏要买门票，你需要付多少钱（也就是一个月之后我能拿到钱的期望值是多少）？因为出现的值大于3才有钱（也就是4、5、6，分别有1块、2块、3块）。出现4、5、6的概率都是1/6，所以我的期望值就是最终的值乘以相应的概率得到一个期望，算出来这个数字是1。

所以如果在当下我要去买一个月之后游戏的门票，一个公平的价格就应该是未来现金流期望到现在的折现，衍生品的定价本质也是这样子的。衍生品是结算盈亏取决于未来某一个时刻、标的资产价格是S的资产，它是标的资产S的衍生品。衍生品的价值，实际上等于这个衍生品带给你带来的未来期望现金流的折现。

我们已经把看涨期权的问题，简化为了一个骰子问题。我们现在来看一下真实的看涨期权是什么样子的。假设我们的看涨期权标的物是三环集团的股票（A股）。我们刚才去解决的骰子问题的核心在于我们找到了一个月后骰子值的概率分布，对于标的为股票的看涨期权来说，它的问题就存在于一个月之后三环集团的股价分布是什么样子的。

这个问题比掷骰子问题复杂很多。很多年前金融工程师发现，我们可以假设股票的收益率是正态分布的（一段时间之后的一个股价呈对数正态分步。对数正态分布的偏微分表达见下面的公式。

基于正态分布的期权定价理论，虽然取得了巨大的成就，但是模型里面也有挺多问题。我们认为瑕不掩瑜，正态分布依然是期权定价的根基。因为标的资产的价格不确定性太大了，也很复杂，所以我们在传统理论里面必须要给一些简化的假设，才能够得出比较优雅的数学结论。

下图是Black-Scholes-Merton方程的重要假设和参数定义：

下面是Black-Scholes-Merton方程的推导过程，关键在于通过衍生品和标的构建无风险组合，然后借助伊藤定力，推导出偏微分方程，然后得到BS方程。有兴趣的朋友可以自己推导一下。

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期权动态对冲与希腊字母

我通过用标的资产去复制期权的策略（Dynamic Replication Strategy）和Dynamic delta hedgig（Gamma Scalping）策略，来带领大家认识一下期权的希腊字母。

首先来看复制期权的策略（Dynamic Replication Strategy），为什么这里说是dynamic呢？是指复制的过程中需要持续不断的操作的，是一个动态的过程。与此相对的，是静态，比如复制一个远期（forward）的话，可以通过买入或者卖出同等份数的资产加上加上无风险投资，一直持有到远期到期。在这种情况下，前期操作之后，在过程中是没有任何动作的。

对于复制期权来说，整个过程是动态的。如下图，天平的左边是股票加上无风险资产（monetary asset），天平的右边是期权合约，我们想要做的是通过天平的左边去复制出和天平的右边一摸一样的P/L（Profit/Loss）。在这个过程中，我们需要做的事情用下图中的Hedging process表示。一个期权合约的价值，等于刚开始卖出衍生品所收到的权利金（accrued option premiun）加上在过程中复制出来的P/L（accrued hedging P/L）。在数学表达式中，accrued hedging P/L部分通过积分的形式表达，积分的范围是衍生品合约开始到终结的过程。在这个过程中，需要通过调整Δt，因为它每时每刻是不一样的，通过在标的资产上面买卖Δt，所积累下来的P/L，最后得到的才是accrued hedging P/L。

delta份的股票，为什么能复制出来期权价值呢？来看右上角的图，delta是红色线（option value）每一点上的斜率。我们在做这个策略的时候，其实是在做用线性的资产去逼近非线性资产的动作。

delta是衡量头寸方向性风险的指标，看涨期权的delta为正，因为是要买正数份的标的资产去对冲；反之，看跌期权的delta为负。无论是看涨还是看跌，delta的绝对值都不会大于1，因为期权价值增长率的本身是不会超过标的资产的。

下面来看Dynamic Delta Hedging（也叫做Gamma Scalping），上面讲的复制策略更倾向于去思考卖出期权之后怎么通过标的资产去复制出期权的盈亏，而该策略更侧重于买入了期权之后是怎么赚钱或者赔钱的。

我们用茅台股份举个例子，假设我在第一天，茅台股价为680的时候买入了一份平值的看涨期权。看涨期权的delta为正（+0.5），为了对冲风险，我要从标的资产上面获取负的delta的头寸。所以我做空了0.5份茅台的股票。

第二天，假设茅台的股价跌倒了300，这个时候我依然持有一个行权价为680的看涨，此时此看涨期权已经不值钱了，因为非常虚值的看涨期权的delta是非常小的（可以默认为0）。空的0.5份茅台股票还来不及平掉，现在要把它平掉，delta还是0。

第三天，茅台的股价又回到了680，这个时候看张期权又有用了，delta又变成了+0.5，有需要从680这个价位空掉0.5份的茅台，delta又回到了0。

回顾一下，从第一天到第三天的情况，680的时候空掉了0.5份的茅台，在300的时候平仓，赚取了190的现金收入，第三天股价回到680的时候又新增了空头。过了三天，什么都没变，但是通过高卖低买赚取了190的现金收入。

但是，在高卖低买赚取Gamma的时候，我们在损失的是时间价值。从数学上来说，Gamma是衍生品价格对于标的资产的二阶导数，它也是衡量delta变化快慢的一个指标。如果买入期权，long Gamma的话，在标的资产变化，我去调整delta的头寸，去赚取的低买高卖的盈利。Theta从数学上来说是衍生品价格对于时间的一阶导数，如果买入期权，Theta永远是负的，每天都在损失时间价值。

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波动率（Vega）

上图哪支股票的波动率大？答案是S1。不一定是看起来波动大的股票它的波动率就是高的。

波动律到底是什么呢？有很多人会误以为波动率就是标准差，实际上标准差只是对波动率的一个估测（estimation），他不是波动率本身。是如何通过标准差估测波动率的呢？把每天的股价记录下来，算每日的收益率，收益率序列的标准差是作为一个对于历史波动率的估测。这里如果股价选取的是每日的收盘价的话，我们把它叫做close to close estimation。

假设我们把市场上一个品种所有的合约都画在一个二维的坐标轴上，我们会发现，在同一时刻，不同行权价、不同到期日期权的隐含波动率不同，有些甚至差异很大。期权跟期货、股票一样，它的价格是买卖盘博弈的结果。隐含波动率的差异，反映了买卖双方对标的的不同时间、不同价格的预期。

隐含波动率曲线有一个特征，两头高，中间低，所以大家会把它称为期权的隐含波动率微笑。当我们把标普500（S&P 500）不同期限、不同行权价和期权价格投射到三维坐标上时，我们可以看到隐含波动率曲面。

从图中我们可以看到，越近期的期权它两头高、中间低的特征越明显。可能的解释是：发达市场有很多养老保险，基金经理对于回撤的控制是非常严格的。基金经理需要对于看跌期权的多头头寸做保护，买入股指虚值认沽期权，抬升认沽期权价格。弥补波动率空头承担发生可能性小但一旦发生就会带来巨大损失的事件。

为什么说隐含波动率是用来衡量不同期权合约价格的指标呢？我们在生活中的很多情景下都会遇到类似的类比问题。比如说买房，如何衡量是在上海买房贵还是在深圳买房贵呢？我们用的是单平米的价格去衡量哪里贵，这里比较的标准是单价。同样的道理，同一标的不同行权价，不同到期日，甚至不同结构的期权价格千差万别，如何判断期权是贵了还是便宜了？我们也要用一个单价来判断，这里的单价就是隐含波动率。

举个例子，期权1里L一个月平值看涨期权的权利金为172元/吨，隐含波动率15%；期权2里L一个月105%虚值看涨期权的权利金为49元/吨，隐含波动率18%。通过隐含波动率来判断，显然是期权2是更贵。

还有个运用，可以用隐含波动率和历史波动率做对比，去衡量你当时交易期权的价格是合适还是贵了。

假设你是个豆粕贸易商，最近豆粕价格长得很快，你手里屯的1万吨豆粕现货赚了300万，你觉得豆粕还会涨，这时，饲料厂来点价了。你朋友推荐你去期权做市商那里买看涨期权，做市商报价是豆粕1个月平值看涨期权69元/吨，隐含波动率20%。同时你计算出过去一个月历史波动率是21%，觉得是个好买卖，于是买了1万吨豆粕平值看涨期权，付了69万权利金。

一个月过去了，豆粕价格又涨了200元/吨，扣除权利金，你每吨净赚131元，这时你再计算了一个月的历史波动率，是15%。最终结论是期权赚钱了，但期权买贵了。

所以，当你评价期权交易时的权利金是贵还是便宜，可以比较隐含波动率和未来实现波动率。案例中，豆粕贸易商实际可以不用付出这么高的隐含波动率去买期权。

分享个波动率交易实例，当时行情PTA长期价格低廉，产业链亏损，2017年TA期权波动率在市场上是最低的，大概在10-13%附近。一直到了2018年的年底，当时TA行情已经有些起来了，我们在8月7日去计算，TA20交易日的历史波动率已经有19%了，但还是有做市商愿意以隐含波动率很低的价格卖。波动率量化模型预测未来2个月TA波动率区间是16-25%，置信程度20%，就是有80%的几率高于16%的波动率。这也是当时判断TA的行情可能会很大的依据，但当时不知道它是涨还是跌，不过只要能找到愿意以低波动率卖期权的做市商，就有办法赚钱。

接下来就不用多说，只要往后的波动率涨，其实我买什么期权没什么关系的。实际我当初买的是虚值看跌期权，权利金60元/吨。波动率是有聚集性的，预测近期波动率高，远期波动率，所以买入虚值看跌期权，以近期的高波动率，Gamma收益会非常丰厚。如果TA继续上涨，波动率也会继续上升，如果TA回调，虚值看跌期权的Gamma会越来越大，即使波动率下降，变大的Gamma也会弥补波动率的损失。结果后来行情是TA暴涨了一波，当时买的是虚值看跌期权，同时也买了期货的多单，做了Delta Hedge。

通过Delta Hedge里的低买高卖，很快就把权利金给赚回来了，这是波动率交易的一方面。只要我能找到波动率，报价不合理的时候，我们就可以通过买入或者卖出期权去做多或者做空这个波动率。

当时，我们还做了一笔波动率的对冲交易，是什么呢？因为塑料L和TA都是化工类品种，所以它的波动率是正相关的（上图为L和TA两个品种的历史波动率）。当时做市商报的L波动率是偏高的，所以我们在L上选择了卖出期权，这里就形成了一定的波动率的对冲头寸。

简单回顾下行情，从8月9日往后L的行情动静就没有TA的大，所以只要在8月9日之前买入了TA的一个期权，无论看涨看跌、什么行权价，接下来就会迅速把权利金给赚回来。

这就是波动率交易的一个表现，说的就是在第二章节所提到的Dynamic Replication Strategy和Gamma Scalping。

例子只是抛砖引玉，今天的公开课也到此为止，谢谢大家。

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