在把有限推广到无限情形时，你遇到过哪些困难，或者证明过程出现过哪些问题？

读到过或自己做问题时遇到均可
请举例

王赟 Maigo · 2018-10-16 00:01:04

来说一个通俗的：

我有一个缸，一开始是空的。在 t = 1 秒时，我往缸里放 10 个球（编号 1~10），再把 1 号球拿出来；在 t = 2 秒时，我把 11~20 号球放到缸里，再把 2 号球拿出来；在 t = 3 秒时，我把 21~30 号球放到缸里，再把 3 号球拿出来；依此类推。问：到最后，缸里有几个球？

显然，对于任意有限的时间 t，缸里会有 9t 个球。但到「最后」，也就是无限的时间以后，缸中球的数目就有「无穷多」和「0」两种观点。这就是 Ross-Littlewood 悖论。
知乎上有一个问题对这个悖论进行过热烈的讨论：
https://www.zhihu.com/question/58702489
我还写了一篇关于这个悖论的专栏文章：
10597 超级任务、一致收敛与共产主义

凉的n次幂 · 2018-10-16 00:01:05

最近大四刚开学，我的一些同学已经准备保研到本院，开始跟老师做一些小课题，其中一位大神@king桑和我讨论了一个小问题，其中有一个简单的有限推广到无限的例子
比如有一个函数不能用显式表达，只能用幂级数表达，假设级数的收敛性比较好，在一个x大于0的很大的区间里都一致收敛，那么我们要想求它的反函数该怎么办？
我当时的思路是先想到，对有限和的情况，先假设我们研究的函数都在x大于0存在反函数，先claim两个函数的反函数和是两个函数和的反函数，（这里反函数的和是指保持同一个y把x加起来）这个我想了想似乎是对的，画图就可以看出来。然后有限和就证明了。
怎么推广到无限和呢，反函数的其实是对称变换，然后我就想到了也就可以看作连续函数乘积空间上的有界线性算子，然后可以用泛函关于有界线性算子的性质去证明无限和。
当然这只是一个初步的想法，这两天比较忙也没仔细去多想，如有问题欢迎各位大神补充改正。

匿名用户 · 2018-10-16 00:01:06

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Z H Wang · 2018-10-16 00:01:07

强答一下。有限群的群作用我可以构造一个矩阵，紧群的群作用我不知道咋操作了。

李地一 · 2018-10-16 00:01:08

我来强答一下希望能抛砖引玉吧。期权定价中的BS model最开始由二种情况的通过缩短时间来符合条件，并对其进行动态模拟。

Precious · 2018-10-16 00:01:09

所有的自然数乘2都是偶数，所以偶数的数量应该和自然数一样多。但是自然数包含偶数和奇数，所以偶数应该小于自然数。
有限数集合的部分概念不能应用于无限。

李药师 · 2018-10-16 00:01:10

超限归纳法……

匿名用户 · 2018-10-16 00:01:11

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王凡 · 2018-10-16 00:01:12

为什么那么多数学基佬在答题。。这不是一个哲♂学问题么？

无限和有限的问题实际上说的是（康德之后的）纯数学何以可能的问题，是一切关于无限的各种bug的解释的问题。

比如我们怎么能在论证无限确切存在之前就使用无限这个概念呢？

窝煎药科普一下数学，哲学，物理的关系好了。

哲学是把一切事物概念化抽象化的行为，那么物理有宇宙哲学有科学哲学数学有数学哲学。对于生活世界，哲学有个专门的研究领域：现象。乃至前有现象世界和物自体之分，后有现象学专门悬置存疑，只看现象。

物理倒是现象世界之一份子了。物理法则实在的前提是宇宙实在，那么如果宇宙是模拟的，我们都是缸中之脑呢？如果干脆感官都是模拟的，我们都是不可言说之物的受骗者呢?

数学也有实在论和反实在论之分，在物理世界假设为真的前提下（这个是唯物主义，自然主义的基本假设），认为无穷存在（最小的数对应最小的结构）的是实在论，认为无穷不存在的是反实在论。普朗克尺度以下是什么鸟玩意谁也不知道，空间和时间搞不好是离散的。这个前提之下，我们当代数学的基础无穷主义很可能只是一种娱乐罢了。作为数学基础的集合论也是在公理化以后才克服其自身悖论的，而公理化是什么？前面有坑，我们不往前走了，就在这站着吧。坑是不填上的。

所以数学和自洽是两码事，数学从未自洽过，经典几何严重自洽，但是不能描述我们的世界，我们的世界是非欧几何，是曲线而不是平面。所以数学只是人造规则下的自洽，就好比DND规则下写小说，按照规则来的所谓合理。那么哲学，数学，物理学的关系就出来了。哲学思考本体论问题，首先一切的一切是外部世界的真实性（我思故我在，我这个主体能确定存在，那么一切是否是梦？）。假设不存在，那么好，你是个优秀的怀疑论者，疯人院欢迎你。假设存在，很好，你要么是一个有神论（或不可知论者），要么是一个无神论者。有神论者的数学是优雅自洽的，就如上帝观念存在上帝就存在的论证一样，数学就是上帝至善至美的一个参照物，自然是唯一肯定的绝对真理（笛卡尔语），物理学早先是不认的，后来不认不行了，就说宇宙法则是上帝创造出来的法则，圣经上当然全是隐喻了BALABALA。也就是说这样-哲学引出上帝-上帝创造完美的物理法则-由数学来发现（牛顿路线）.

无神论者的数学仅仅是具有可应用性的工具，它可以被使用，仅此而已。同时基于证伪原则，物理学也仅仅是一门可错的科学，和其他科学一样不代表任何真理，只代表它是TMD科学。很好，那么就是哲学假设现实世界存在，进一步假设宇宙并未给上帝保留位置（霍金语），再基于数学的可应用性，发展物理学。而物理学的未来是什么，我们是什么也不知道的。只能实践--出错--总结--再实践--再出错--再总结。。

在把有限推广到无限情形时，你遇到过哪些困难，或者证明过程出现过哪些问题？

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