最近在看CFA L2，好好把BS model研究了一下，现在说说我的理解。
按国外教材的理解：
N(d1)是在风险中性条件下，按股票计价时得到的期权被执行的可能性，N(d2)是在风险中性条件下，按货币计价时得到的期权被执行的可能性。N(d1)d1也就是delta，随着S的增大而增大。
期权的价值是货币计价，现在假设是元。所以 ，第一项可以理解为到期时所能得到的货币价值，第二项可以理解为到期时所要付出的货币价值。所以期权的价值就是我们得到的价值减去付出的价值。
关于第二项，到期时付出的是Cash，单位是货币（元），货币计价是 K元。
到期时付出的价值（折现）应该是执行期权时付出的价值加上不执行期权时付出的价值，即 Ke^(-rt) × N(d2) + 0×（1-N(d2)） = Ke^(-rt) × N(d2)。但由于不执行期权时所付出的价值为0，所以到期时付出的价值也就等于到期时执行期权所付出的货币价值。
关于第一项，到期时得到的是1份股票，计价单位是股票，转换成货币计价是1×S元。
到期时如果执行期权（S>K)，则会把股票转换成货币，这样得到的货币价值是1×S×N(d1) , 如果不执行期权(S<K)，则不会把股票转换成货币，这样得到的货币价值是1×0×（1-N(d1)），加起来就是S×N(d1) ，也就是到期时执行期权所得到的货币价值。（假设股票计价转换成货币计价的成本是K元，只有当S>K时，我才会选择把股票转换成货币，这时股票计价是1份股票，转换成货币计价得到S元；如果股价太低，低于K，把股票转换成货币是不划算的，所以会选择不转换成货币，这时股票计价仍是1份股票，但货币计价是0元。和期权out of money时同理，可以把1份“股票”理解成1份期权，“货币计价转换”理解成期权的执行，只有S>K,期权才会执行，即进行货币计价转换，期权有价值，货币计价转换后有价值。否则不会执行期权，即不进行货币计价转换，期权价值为0，货币计价为0）
因为不执行期权时，第一项和第二项的货币价值都是0。所以Call的价值就等于当期权执行时，所得到的货币价值减去所付出的货币价值，即
或者，根据CFA网课中老师的理解加上我自己的理解（有点不严谨，但可以大致参考理解下）
类比的是Forward的定价，P（forward）= S - Ke^(-rt)。Forward到期时是一定会执行，但期权不一定。
所以
Nd2描述的是期权执行的概率。
Nd1也就是Delta，描述的是股价变动对期权价值的影响。如果股价上涨1块钱，期权价值的上涨幅度是1×N(d1) 。
关于第一项，我们计算的是期权的价值，而不是股票的价值。
如果计算的是股票价值，到期时价格为S，我们能得到的价值就是S（理解成S-0）。
但现在计算的是期权价值，应乘以N(d1) ，也就是S×N(d1) （理解成（S-0）×N（d1）），即在Forward公式第一项乘以N(d1) 。
关于第二项，Ke^(-rt) 乘以 N(d2) 就是当期权执行时付出的期权价值，即在Forward公式第二项乘以N(d2) 。
所以Call的价值就等于当期权执行时，所得到的期权价值减去所付出的期权价值。
学了几年BS model，今年终于好好研究了一下，如果有什么错误，欢迎指正~~ |
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