数学分析究竟在讲些什么?

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dhchen · 2018-9-22 10:57:17

题主往错误的方向上努力了。

数学分析不追求直观思维，学好的关键是在于培养抽象思维。
数学分析不追求直观思维，学好的关键是在于培养抽象思维。
数学分析不追求直观思维，学好的关键是在于培养抽象思维。
John von Neumann 就是对“一位想要理解抽象数学“的物理学生说出以上那句的。

的确，导数，积分都有物理几何上的意义（切空间，体积），可以部分的直观化。但是数分的核心思维是抽象而不是直观，你不能往错误的方向上去努力！理解抽象观念最好的方法在于两点。
1.不断的使用这个抽象的概念，建立第二本能。
2.记住一个个特例和反例，培养某种对直觉。

你首先放弃“哲学式”的理解数学分析的方式，通过图像甚至玄学理解数学分析是很危险的。你首先要学会用“严格的数学逻辑说服自己和别人”。不要觉得这个直观上对的就是对的，对每个细节都要做到逻辑上和计算上的自洽。你要做到希尔伯特说的下面的要求。

等你把这个变成本能后，你才进入下个阶段，这个阶段，你可以寥寥数笔就能证明和精确理解命题，你可以跳跃式的知道对与错，并且很快就知道如何证明和构造反例。你的草稿纸即使不严格，也不会出错，你随时也可以把结论翻译成严格的结果。这个时候你写一本书也不是难事。

Icey · 2018-9-22 10:57:18

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谭镇鹂 · 2018-9-22 10:57:20

分科……
对非数学系来说，就是讲微积分如何可能。
在牛顿和莱布尼茨搞出微积分百多年后，经历不少数学家们之手，才构建了建立在实数完备性基础上完善的微积分理论。在这期间，虽然牛顿的定义很有问题，但物理学家们用的不亦乐乎，似乎也没出什么问题。
典型的应用跑在理论前的例子。
不过，虽然没有具体考证过，我相信近代物理的许多理论，尤其是抽象些的，是在微积分在数学上被完善后才出现的，而不可能是基于牛顿当年的版本。所以，请重视数学基础的必要性。论逻辑的严密性，数学无人，划掉，无学科能及，也正因为它的严密和自洽，才拥有最强大的拓深推广能力。神秘叨叨的高维空间至今也只存在于数学定义里。

对数学系来说，和认字差不多？熟悉最基本的概念，收敛，极限，连续，求导，微分，熟悉重要的定理和有必要的计算，微分中值定理，实数的完备性，积分，各种积分，积分的应用，级数，隐函数定理，熟悉数学中常用的推广思想，多元。
直观性没什么感觉，也许实数的完备性很好玩？
当年偷懒不写课后作业，之后各门课，尤其ODE和PDE学得要死要活。最重要的是打基础。
但学的多了反过头去看数分，那些课后习题又没有当初那么讨厌了。

对我来说，数分，和高代一起，最重要的是告诉我，

数学原来是如此严密，自洽，而美丽的存在。

呦鹿 · 2018-9-22 10:57:21

数分的思维我一直以为是极限的思维
或者说是无穷、逼近这样的思维
别人看问题都只看表面
学完数分我们会看的远一点更远一点
不知道这样是否能回答你的问题
有人说数分是基础有人说数分是计算
作为一个小菜菜
我把本科数学分为三大类
分析、代数、应用数学(运筹、概率等)
数分就是分析学科的基础和工具
后面学习的复变函数其实是复平面的数分
实变函数是换了积分区域的数分
常微分、偏微分也大量运用数分的一些结论
现在我都读研了还无时不在后悔当年没有好好学数分
不过你有不知如何运用的感觉是正常的
数学分析里的一些结论我们现在证明的时候才用上
不过其他结论你后面学习很快就会用上了
数学的世界很广阔
如果两个学期一门课就能让你建立起数学直观
那你也太天才了
继续加油吧
共勉
(虽然我也不懂什么叫数学直观。。。_ )

再补充一点看到有童鞋提到连续寄出一张自己的截图一个论坛里大神的回答

Yuhang Liu · 2018-9-22 10:57:22

谢邀。
在我看来数分就是教你怎么算东西的。初等数学有四则运算，学了本科数学之后微积分应该成为你的“第五种运算”，数分的整个学习过程就是让你熟悉这种运算方式的过程。数分里面哪怕是证明题，很多其实也是通过计算去证明，比如用Taylor expansion，或者用各种不等式去放缩，这些通通都属于计算。

Dante · 2018-9-22 10:57:23

反对很多高票回答。
对于数分课，我只想先强调一点：人和人的学习能力是不一样的！！！！但是每个人都能学好数学分析！！！！关键在于学习的步骤！！！！
首先，我们要明确，对于学习能力很高，抽象思维，语言能力很强的人来说，谈学习方法没什么太多意义，因为怎么学都能学好。我这里谈的是正常人，普通人的思路。

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在我看来，我们很多的数学分析教材是不合格的，因为作者站在了很高的高度上。在一开始！！！就引入了很多！！！抽象语言！！！太注重于证明！！！(我知道有的人不乐意了，难道数分最重要的不就是抽象以及证明么？请听我继续说)
我在这里先给你推荐一本书：叫古今数学思想。我的目的是让你先从历史的角度看待这门课的学习。
很显然，在牛顿和莱布尼茨创建微积分的时代，是根本没有那么严谨的证明的！因为，这些理论被提出来，是源于直观的！这点一定要注意。我们可以看到，微积分其实很多都来源于直观的物理或者几何思想。在你一开始学习的时候，请一定抛开复杂的证明，从直观的角度去思考，这是降低学习难度的最好做法！
换一句话说，请你在学习每一个知识点时，都去想想它到底是干啥的。再提醒一次，先不要纠结证明！
比方说导数，你可以直观的理解为变化率，给你位移方程求导就是求速度方程，也可以从几何角度去思考，本质就是求每一点切线斜率。
比方说积分，你可以理解为求导的逆运算，从直观的意义来讲，给你速度方程，你可以求出位移差。直接从图像去理解，其实就是求二维曲线与轴围成图形的面积。
再比如说第一型曲线积分，这是用来求曲线密度之和的！(如果给你质量密度，求出的是质量，给你电荷密度求出的是电荷量，给你概率密度，求出的就是概率！把密度看成一，求的就是曲线长度！)
二重积分则是用来求平面图形的密度之和的！(给你高度方程，求出的是对应三维图形的体积。如果给你质量密度，求出的是质量，给你电荷密度求出的是电荷量，给你概率密度，求出的就是概率！把密度看成一，求的就是平面的面积！)
举例到处为止，其实你可以根据我上面那两个例子自己想出三重积分，和第一型曲面积分的意义！

想好了意义，你要学会计算，你不能说给你个积分你不会算，那是不行的。
学会了计算不够，你还要学会列方程，因为这样才能更一步提高你对这些计算意义的理解！你会发现，一维，二维，三维，或者是物理意义，都是非常直观的，你甚至可以开始给出不严谨的证明了！

你把我说的这些学会，证明一点都不看，你的考试分数已经可以蛮好了，如果你有耐心，我建议你可以开始学习证明了。
但是为啥要证明呢？
凡事都有个为什么，请仔细看历史！那就是因为数学发展到一定阶段，数学家们发现数学大厦盖到一定程度，如果根基不牢固，非常危险，当你想研究更高的东西时，你会发现很多东西说不清楚。比方说微积分里用到的无穷小的概念！
现在大家都知道把无穷小阐述清楚有多么重要，可这些都是马后炮，当年，可没什么人注意这些问题。就好比你不仔细学证明，其实我刚才说的那些，你也能自己理解到位，从物理和几何的意义上，也能大致弄清楚，起码解决基本问题是没问题的。但是，当问题变得更高时，比方说多维问题，你会发现直观的思维非常脆弱！如果地基不牢，我们再想往上爬是很困难的！
我相信一开始大家都会纠结那个无穷小的定义(很多人应该都记得如何证明一个数列收敛，而且有相当多的人都觉得这个东西多此一举，明明是很直观的东西为啥要分成这么绕的语言？)
如果你有我说的这些困惑，我建议你先不要思考太多，先把基础的证明背下来，抄下来！我知道很多大神又该说什么不要死记硬背这种东西，要理解！理解！但是，人和人的智商以及反应是不一样的，比如我这样的普通人，如果一个陌生的东西不先记在脑子里，根本就理解不了。我建议你要像学文科一样把这些先背下来。哪怕这些东西不符合我们的常规思路，也先不要去纠结。(抄，背，这些不是我发明的，事实上很多优秀的数学家都是这么学习的，希望大家不要歧视这种方法。但我建议，你不要一开始就纠结在这些事情上，而是用牛顿那个时代的直观思路去把整本书学完，这样不会让你丧失兴趣。)
当你把基本的东西背熟后，你会发现，你已经开始会拉格朗日中值定理这些东西的推导了，这时候你从新学习一遍这本书，你会发现一开始很多说不清的东西，变得可以说清楚了，哪怕用的是很抽象很绕的方式！
后面更高维数的问题你也可以开始用这些间接方式思考了。这时候抽象的力量就体现出来了，证明的力量也体现出来了！
还记得高中学的“保守力”，这个概念么？在曲线积分极其路径的无关性这一节里，你会大大体会到证明的力量！一步一步的推导，竟然能得出这几个结论。之前你只知道重力，静电力是保守力，而且只能从现象理解，现在你竟然能证明出来！你甚至还能自己创造出符合保守力的公式！是不是很厉害！这就是一点一点做工作的力量。
你会发现，一开始的直观只是将你引入了大门而已，当你回过头用证明重新走过这条路时，你能走的更远。

这时候，请你不要满足！再回头学一遍，把整本书推导下！你会发现，越是前面的东西，就越致命！往往你觉得不重要，差不多就行的地方越容易在后面让你产生困惑。当你发现一个很难的问题没想清楚，回头看时，发现自己在很简单的地方摔倒了，一定要把基本的东西记牢。

请你不要自满，我建议你再用不同的方法证明，尤其多用现成的定理！活用定理非常重要，这意味着你不用再思考之前思考过的问题了，再自己已经推导过的基础上，学会站在之前的自己的肩膀上继续往下走也是一种能力！
这时候，你会发现自己真的越来越明白了。

当你发现，数学的工作需要的并不仅仅是灵活的思路，其实数学更需要一步一步，稳稳的工作。这个时候，你应该能意识到，自己当初为什么不理解无穷小的定义了，为什么不理解要那么绕的写这个很直观的东西了。那就是因为，你不理解，不是它难，而是它太简单了！简单到你已经觉得这种东西多余了。
其实，这门课在一开始拦住很多人的原因，是因为我们并没有意识到，这是一门语言！当你基础的东西没有背会，掌握熟练，你怎么能继续往下推导呢？

其实我们的教材是很好的，只不过欠缺了一些层次，以至于我们这些普通的学生要学好几遍，才能学明白。其实我们学明白的这个过程，就是数学历史发展的过程！真心的，谁没事干一开始就搞证明啊！谁一开始就能抽象啊！一切都是从直观开始，然后建立基础，然后一步步推导，然后抽象，然后走的更远！

我们的老师曾经说，数学分析，是本科阶段，整个大学最难的科目！很多大佬觉得莫名其妙，常微偏微，实变复变，拓扑近代，代数几何，难道不是一个赛一个的难。其实，大家是没有理解老师的意思，很多人学数分，硬是把这门课学成了微积分。证明的思想，基本的造大厦的思路，没有掌握好。而这些大佬不觉得数分难，是因为他们一开始就掌握了这门课的学习方法，很多人甚至看几遍定理就记下来了，你说这能难么？对于普通的学生，如果你没有在这门课理解数学学习的思维，之后的科目你会越来越完蛋！这也是老师说这门课是本科最难的原因，当然，这同时也是很多大佬不觉得这门课难的原因。
所以，总结下，希望没有学会这门课的同学，先用直观的物理或者几何的思想理解这门课，当成微积分来学，然后再慢慢背基本的定理，一点一点学习证明，一点一点抽象我们的问题，脱离实际概念。你会发现，普通的我们，也能学明白数分！(其实这门课有很多内容，高数和微积分这两门课根本就没有，但随着你学的遍数增多，你会明白这些内容也是为建立大厦而服务的！有的东西是工具性的，有的东西是拓展，希望你不要着急，先从直观来，不要自满，总能学会的！)

大苹果 · 2018-9-22 10:57:24

在讲人生啊！

数学分析的主要研究内容是函数，对此它提供了两种工具，微分和积分。这就像是看待问题的两种方式，一种是微观地看，用显微镜看；另外一种是宏观地看，用广角镜看。

显微镜的放大倍数是1/dx，所以说f(x)的导数f(x)/dx就是放大后的结果；而广角镜的放大倍数是dx，这是一个无穷小量，因此f(x)的积分f(x)dx就是缩小后的结果。

用显微镜看我们可以细细研究，精益求精；用广角镜看我们可以忽略掉不重要的细节，去追求对事物进行整体把握。

举个例子：
Taylor展开表达出一种什么样的思想呢？你给我一个函数，只要它足够好（任意阶可导）那么我就可以用简单的多项式函数去逼近它，并且想要多近就可以多近。
一个人如果内心深处是善良的，那么我们就可以去慢慢靠近他理解他，总有一天能和他成为朋友。相反如果一个人坏到骨子里了，那么无论什么方法多长时间都不能和他建立起友谊的。

“这哪里是数学，分明就是人生啊。”

junjc9 · 2018-9-22 10:57:26

答主水平有限，无力阐述究竟的具体内容，故删除了原回答，以免误人子弟!

数学这门学科应该是"算"懂的，而不是仅仅只是"看"懂的!

数学分析究竟在讲些什么?

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