|
来源：上交所期权之家 Black-Scholes期权定价模型最早是由费舍尔.布莱克和迈伦.斯科尔斯两位经济学家在1973年发表的一篇论文中提出，为了纪念他们的这一发现，该定价模型用他们名字的缩写命名，简称B-S模型。Black-Scholes期权定价模型的诞生，奠定了现代期权理论的基础。B-S模型的推导基于无风险套利机会的假设，回避了关于个人风险偏好和市场均衡价格结构的限定性假设，发展了期权定价的均衡模型。该模型在海外的期权、权证市场40年的发展过程中已经得到了广泛的检验。
我们将Black-Scholes期权定价模型的假设条件列举如下： 1. 股票价格过程服从对数正态分布模式； 2. 在期权有效期内，无风险利率和标的证券的波动率变量是恒定的； 3. 市场无摩擦，即不存在税收和交易成本，所有证券都是高度可分的； 4. 标的证券在期权有效期内无红利及其它所得(该假设后被放弃)； 5. 允许使用全部所得的卖空衍生证券； 6. 该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施； 7. 不存在无风险套利机会； 8. 证券交易是连续的； 9. 投资者能够以无风险利率借贷。 我们在上述的假设下，描述性地了解一下B-S模型微分方程原理：（1）衍生品与标的资产（股票）价格不确定性的来源相同；（2）与二叉树期权定价模型的思想类似，通过构造股票与衍生品的组合来消除这种不确定性。 在B-S模型的假设下，股票的随机过程过程为：
其中，S表示标的股票的价格，μ表示标的股票的漂移率，σ表示标的股票的波动率，Z表示均值为0，方差为t的标准布朗运动。 假设f是基于S的某个衍生证券的价格，根据著名的伊藤公式（Ito Formula），我们有
如果我们构造一个投资组合，卖空一份衍生证券，同时买入
份股票，那么整个组合的价值（用表示）为：
于是投资组合的价值变动为：
投资组合
的价值变动仅与时间dt有关，因此该组合成功消除了dZ带来的不确定性。根据无套利定价原理，该投资组合的收益率应等于无风险利率r：
最终得到以下微分方程：
从式1.1可知，任意依赖于标的资产S 的衍生品价格f应满足以上微分方程。如果我们再加上欧式认购期权的边界条件，
那么通过以上边际条件解这个微分方程（式1.1），就得到了著名的B-S欧式认购期权的定价公式：
其中，
c表示欧式认购期权价格，其行权价为K；期权有效期为T；
为股票价格的年化波动率，即年化收益率的标准差；
为标准正态分布变量的累计概率分布函数，根据标准正态分布函数特性，有
。 根据欧式认购期权和认沽期权之间的平价关系，在Black-Scholes期权定价模型的基础上，可以很容易得到欧式认沽期权的定价公式：
| 
转播
