本系列依旧秉承着完美避开一切有关波动率“预测”，“交易策略”，”期权策略“等一切和量化交易有关的”比较入行“的内容。不感兴趣的知友可以右上角了。
更新5.12.2020： 更改了对萨缪尔森效应描述的错误
前言：
这文章的草稿其实几个月前就写了2/3，直到今天才拿出来也算蹭热度吧，因为本文所提到模型也是兼容负期货价格的，甚至兼容负现货价格。 要蹭热度就要蹭最虚假的热度。
动机：
首先我们都知道，无论怎么假设波动率，他都是一个二阶统计量，是需要样本来观测的。而因为无法保证时间序列的每一个戳作为样本他们的统计性质能保持不变，所以前人提出了各式各样的二阶dynamic，假设波动率符合特定过程然后再去估计所谓的瞬时RV是多少，也顺便可以用模拟方法去”观察“未来的波动率。
但是这么做的又会陷入和某些数据科学建模者”你们的模型做了一万个不切实际假设“，”真正入行的人都用LSTM去预♂测波动率“ 等等无休止的争吵。 而且某种程度上，他们的指责也不无道理：毕竟对于波动率这么一个本身就要从样本去估计的量，如果还要观测dynamic，估计难度太大了（用某流行学科的话说就是”损失函数太难找了“）
不过在金融市场里，好巧我们刚好就有一种对未来市场预期的Underlying——期货，因此对波动率的观测（估计）可以允许存在这么一种观点：
我们虽然不能保证波动率是恒定的，但是我们可以去估计一段时间（tenor）里的平均波动率是多少，如果恰好这个tenor上有对应的未来资产，那么这个未来资产的波动率就可以作为这一段时间内波动率的一个代表。
其实这个观点不是什么特别创新的观点，观测对象从期权变成了期货而已。
Future RV方法：
最直观的，用期货观测波动率的方法自然是观测每个tenor t_{i-1} \sim t_{i} 的期货return方差，然后利用比较通用的方差iid的假设（自然也是缺陷），做出一段tenor内，的平均方差：
RVar_{t,T} = 1/N\sum_{i=1}^{N}{ (ln\frac{F_{t+i,T}}{F_{t+i-1,T}})^2}
当然，方法trivial， 缺陷自然更加trivial
- “你凭什么做出不同tenor期货方差是iid这种不切实际的虚假假设” ——by 数据科学家A
- “市场上不存在所有流通tenor且区间不等，你这是虚假理论”—— by 交易员A
但是归根结底，直接由F求出的类似远期RV意义终归是有限的。想要比较合理的校准出vol的term struct还是得接触期权的。 所幸的是，在商品领域里，由于大多数期权都是期货期权，这给了校准vol of future一定方面。
一个主流的商品波动率term struct模型就是Gabillon模型。
只不过， 这种方发楼上的数据科学家和交易员可能更加不爱看了，因为它看起来”更加像虚假理论“
Gabillon模型：
Gabillon模型，是一个观测商品市场期货的Vol struct 的模型，其发明者受了HJM的启发，把利率市场用来构建期限结构的方法移用到了商品期货市场的波动率上。
至于为什么会是商品期货市场最先有了这种方法，是因为商品期货市场的波动率有着独特的性质——萨缪尔森效应， 即期货价格的波动性会随着期货合约到期日的来临而缩小 。
“在这种情形下，历史波动率和（期货期权的）隐含波动率都不是期限结构里的波动率的一种很好的度量，因为他们都依赖于一段时间内期货价格。由于不是所有到期日不一样的期货都能持续被交易，在期限结构上的每一点的瞬时波动率是极难被挖掘的 ——by Gabillon”
为此Gabillon与1991年的论文：The Term Structures of Oil Futures Prices 中提出了一种在期货定价中融入类似HJM的期限结构框架的方法。Galibillon模型属于是商品期货模型里比较经典的长短期模型，然而和一般长短期模型不同，Galibillon试图把长短期波动率和期货的期限结构产生联系。这套方法后来被各路学术界和业界的人士完善成为了商品期货估值领域里的主流框架。
首先是Gabillon现货的长短期模型：
\begin{cases} \frac{dS_t}{S_t} = (r_t +y_t)dt + \sigma^s_t dW^s_t \\ \frac{dL_t}{L_t} = \sigma^L_t dW^L_t \end{cases}
其中， S为现货价格，L为引入的看不见的长期价格，这里为了校准方便和符合经济常识我们令便利率y(代表手持现货的溢价）为：
y_t = \kappa_tln(L_t/S_t) +\delta_t
这个表达是符合常识的，如果人们认为商品的长期价值大于现货价值，便利率就是正数，人们囤积奇货就有利可图。如果认为长期价值小于现货价值，便利率就是负数，现货是可以砸在手上的。
注意由于这里的便利率是线性加在dt项上的，这个模型兼容负的现货价格。
然后是关键的Gabillon期货模型：
我们这里假设了一个中间量长期价格L，对于实际校准环节来说，多出的未知量也就是长期波动率 \sigma_t^L ,和便利率相关的 \kappa_t , \delta_t 。Gabillon期货模型的核心思路就是，通过校准长期和短期两个波动率变量来构造期货的期限结构。
对于现货模型使用伊藤定理得：
\begin{cases} dln(S_t)= (r_t +y_t - \frac{1}{2} (\sigma^s_t)^2 )dt + \sigma^s_t dW^s_t \\ dln(L_t) = -\frac{1}{2} (\sigma^L_t)^2dt + \sigma^L_t dW^L_t \end{cases}
令 \alpha_t = r_t +\delta_t + \frac{1}{2}[(\sigma^L_t)^2 - (\sigma^S_t)^2] , \sigma^X_t dW^X_t = \sigma^s_t dW^s_t - \sigma^L_t dW^L_t ,则我们可以有把长短期之比X X_t = S_t/ L_t 得dyanmic提炼出来：
d(lnX_t) = (\alpha_t - \kappa_t ln X_t))dt + \sigma_t^XdW^X_t
这是一个OU过程，对于所有OU过程，技术上我们都可以把衰减系数 \kappa_t 是指数 K_t(T) = e^{-\int_t^T \kappa_s ds} 提取出来：
ln(X_t) = K_t(T)lnX_t + \int_t^TK_u(T)(\alpha_udu + \sigma_u^XdW^X_u)
再把整个过拆开来，我们发现我们不需要借助相关性就可以把长短期的系数进行联立了：
lnS_t = K_t(T)ln(S_t) + (1-K_t(T))lnL_t + \int_t^T[K_u(T)\alpha_u - \frac{1}{2}(\sigma^L_t)^2]du + \\ \int_t^TK_u(T)\sigma_u^SdW^S_u +\int_t^T(1 - K_u(T))\sigma_u^LdW^L
这个过程中我们看似是通过”做了一个万个不切实际的虚假假设“得到了长短期的关系是OU过程这个形式，而实际上从底层逻辑而言，虽然我们在现实中见不到商品得长期价值，但是最朴素的经济常识告诉我们，长短期价值随着时间的推移必然是回归为一的。 既然期货到期了会要逼近现货，那代表现货持有溢价的便利率在逻辑上也必然是一个均值回归的过程。
接下来分析期货的价值，我们根据对数正态的性质可以知道 E[S_T|\mathcal{F_t}] = e^{E[lnS_T|\mathcal{F_t}] + \frac{1}{2} Var[lnS_T|\mathcal{F_t}]}
首先由于 \mathcal{F_t} 的条件代表我们已经知道了0到t的信息，所以S_t所含0到t的随即部分现在可以视为已知，而t到T的伊藤积分期望为0，所以上式的第一部分我们可以写为：
E[lnS_T|\mathcal{F_t}] = A + \int_0^tK_u(T)\sigma_u^SdW^S_u +\int_0^t(1 - K_u(T))\sigma_u^LdW^L
其中A为常数，积分部分可以在\mathcal{F_t} 的条件下视为常数，而而由于方差部分经过伊藤等距的计算后也只剩下常数所以我们可以令：
Var[lnS_T|\mathcal{F_t}] = B
则期货的价值可以表示为：
F_t(T) = E[S_T|\mathcal{F_t}] =e^{A+\frac{1}{2}B} exp\{\int_0^tK_u(T)\sigma_u^SdW^S_u +\int_0^t(1 - K_u(T))\sigma_u^LdW^L\}
那么对于0时刻什么都不知道的我们来说期货的价值就可以表示为随机过程：
\frac{dF_t(T)}{F_t(T)} = K_t(T)\sigma_t^SdW^S_t +(1 - K_t(T))\sigma_t^LdW^L
这就是Gabillon期货模型的形式，原则上这个模型是可以根据dynamic的对收益的序列进行校准的，但是借助期货期权来辅助校准IV的效果实际上更好。
我们立刻可以观察出这样的形式有三个好处：
1.通过调整 \kappa_t 和允许负现货价格，这个模型是允许负期货价格的
2.这个形式下的期货过程是一个期限结构，由每一组t和T来决定一个固定的期货产品。符合不同期限期货的表现不同的事实。实际上Gabillon的核心贡献就是用期限结构表示了期货，符合了期货本身带有期限结构的特征
3.这个形式能自洽地解释萨缪尔森效应，根据K的定义，临近到期的的期货波动率自动向长期波动率靠拢。对于那些长期波动率偏高额产品，可以通过在模型长短期两项添加不同系数来调整。
总结：
Gabillon模型是91年提出的，形式上可以认为是过时的，但是他开创性的用期限结构的方式去构造了期货过程的波动率，同时在这一过程中符合常识地联立了商品期货中最重要概念便利率。这模型的思路直至今天都不过时。 |
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