楼上二位 @李望 @二点三西格玛 都提到度量需要一个明确的定义，我现在就把各类定义汇个总。
1.基于模型参数的定义
假定模型里用来刻画skew或者smile的参数为 ![]() 和s ![]() ，那么这种情况下skew和smile可以定义为对这些参数的敏感度 ![]() ，经典的模型可以参考SABR和Heston。这种定义的好处是只管明了，坏处有很多：用来对冲和常规greek交叉，改变背景（und，vol等）容易导致参数的重校准从而污染别的greeks，依赖dynamic。这种定义一般用作模型检验，而不用于对冲。
2.基于曲面对资产的定义
我们可以用 ![]() ，或者 ![]() 组合来定义曲面的skew和smile，这两组定义长得非常的对偶（求解的时候可以互相作为dual problem）。既可以model based也可以model free（partial model free，波动曲面本身需要建模），一般都是在ATM附近比较重要。
其中后者的在给定Delta离散化后(比如 ![]() )经常作为交易员检查曲面skew，smile程度（但不是对冲）的指标。 前者可以作为交叉项的“污染系数“辅助其他greek是的计算（可用于对冲）。关于正这个内容，我写过一个三篇的短小系列：
再闲谈波动率1——Vega到底是什么东西再闲谈波动率3——所谓波动曲面的“轴”Backbone在一些很经典的模型里，这些定义都是有明确计算的。
3.基于曲面自身参数的定义
基于芝加哥大学Roger Lee2004的结论，隐含波动率和在值度的比值在极度ITM和OTM的情况下都是有上界的，因此波动率允许被直接写成在值度的参数形式。
以经典的SVI参数化为例：
![]() ，能修饰的去面要素远比skew和smile丰富
其中a和m可以修饰曲面的垂直和水平位置，b可以修饰曲面wing处的夹角（部分诠释smile），rho可以全是整体倾角（skew）， sigma可以全是atm出的曲度（另一部分诠释smile）
这类基于在值度的曲面参数好处是刻画丰富，对曲面建模非常优异。坏处是脱离dynamic和资产，对建模和对冲都有一定困难。这类方法一般用于曲面构建
4.基于ATM波动率和在值度的定义
很多skew,smile刻画是基于具体曲面固定点，报价，经典的比如VannaVolga系列方法，一般直接采用了市场上固定点位（比如25D)波动报价和ATM构建smile。其形式是多样的，有给定 ![]() 的形式, 也有给定 ![]() 的形式。这是目前我自己使用最多的方式（跟外汇市场报价习惯有关）
其优点是可以直接采用市场报价刻画曲面，同时修正曲面上下文极为方便。缺点是这一系列方案对vega值敏感度极高，整个skew和smile的刻画依赖于一个正确的合约Vega值（对于奇异合约还需要以来Vanna和Volga两个度量），容易“被市场欺骗”。
5.基于RR和FLY的定义
楼上 ![]() 提到的产品对RR和FLY的敏感度Rega和Sega是一种外汇市场常见可对冲的skew和smile度量客户。 由于外汇市场的RR和FLY报价形式为vol组合，使得Rega和Sega本身可以作为特种Vega作为产品的skew和smile波动敞口。
由于RR和FLY在外汇建模中一般直接可以作为产品的输入之一（一个常见的外汇衍生品定价函数的形式 ![]() ），这使得这一刻画对于产品有一个直接的映射，建模上十分的简单。
这套方法的优缺点十分明显，对于外汇以外的资产类别由于delta间距问题不能凑标准的RR，FLY。往往RR，FLY依赖于其他波动率模型的导出，增加了建模的程序和复杂度。 另外，固定点位RR和FLY并不一定是非常工整的Deltaone RR和Vega 0 Fly（其实严格来说，skew和smile的刻画对RR和FLY的要求更高，详见Peter Carr vol skew， smile trading)，而且也无法解决交叉项问题。
6.基于Vanna和Volga Greek的定义
这是最粗暴的直接基于产品greek的定义: ![]() , 他们都是可对冲的。 缺点是巨大的，因为每次对冲这两个必须在delta neutral的情况下构建三个vanilla的头组（或者忽视volga至少两个），每次需要解一个方程组。 除了计算问题外，操作中还需要设置一些对冲频率，触发对冲所用期权头寸的阈值的额外设置。 这是最直接也是最费力的做法，需要计算和资本支撑。
7.SABR（style）
sabr是必须单独拎出来的一种刻画方式，因为他同时做到了dynamic - BSiv - 曲面参数三者的刻画。他能做到上面所有定义方式所能做到的，的唯一缺陷就只是基于sabr dynamic而已。
而涉及到其他dynamic的sabr style smile 拓展则需要非常变态高阶微扰展开和逼近，而只能解决这一个小问题。 我的一个国际著名pricing vender model负责人友人 @皮皮爸曾试图拓展其他dynamic的sabr style 刻画而三个月甚至没有完成展开这一步（相信我，这个过程非常变态）。由于这个领域比较野鸡而且有很多不那么完美的替代方案可以解决，因此学术界竟没有太多研究（定价论文我自信看的是比较多，每个子方向的经典都略知一二，但是真的没有见到太多这个方向的）
后记
简单来说，题主的问题是一个需要体系化，系统化基础建设才能慢慢拓展到应用层的大课题。 如果应急必须马上应用到实践中可以考虑外汇领域里的RegaSega法（对应上文5节）和其他asset class中的直接greek对冲（对应上文第6节）。但这些都不是长久之计，完善的解决需要系统的建模。
最后按照惯例，本系列是“纯虚假理论”，是由一个不但理论功底不扎实也没有实践经验，还只会“唧唧歪歪装逼”的后台（现在不是后台了）编写的。不指望能对从业者和学习者产生任何帮助，纯粹是笔者娱乐和消遣产物。“Quant高贵人”群体如果有鄙视或者寻求优越感的需求，欢迎直接实名在评论区输出，来多少欢迎多少。 |
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