连续复利
单利：(1+nr)
每年一次复利: (1+r)^n
每年 m 次复利: (1+ \frac{r}{m})^{mn}
连续复利: \lim _{m \rightarrow \infty}\left(1+\frac{r}{m}\right)^{m n}=\lim _{m \rightarrow \infty}\left(1+\frac{r}{m}\right)^{\frac{m}{r} r n}=e^{r n}
折现
M(0)=M(T) e^{-\int_0^T r(t) d t}
零息债券
零息债券是指以贴现方式发行，不附息票，而于到期日时按面值一次性支付本利的债券。
价格计算公式：P=\frac{F}{(1+y)^t}
无套利原理(Arbitrage-Free Principle)
套利
无风险赚取利润的机会
例子：假设股票在Chicago的价格为100USD，在Frankfurt的价格为70EUR，汇率为1.33(EUR/USD),忽略交易费用，则存在套利机会。
分析：正常情况来说，股票在Frankfurt的价格应该是100/1.33=75.19,但实际上是70，因此卖便宜了，所以应该在Frankfurt买入股票并且在Chicago卖出，这样每股股票可以获得约5.19EUR的无风险收益。
无套利假设
在市场处于均衡的条件下，不存在无风险套利的机会。
投资者一旦发现套利机会，就会进行套利，并将推动市场重建均衡，套利机会就消失。市场效率越高，重建均衡的速度越快。如果市场是有效率的话，市场价格必然由于套利行为作出相应的调整，重新回到均衡的状态。
无套利原理
- 无风险资产：国债 B_t
- 风险资产：S_t^1, \ldots, S_t^n
- 投资组合：\Phi=\left\{\alpha_t, \phi_t^1, \ldots, \phi_t^n\right\}
- 财富：V_t({\Phi})={\alpha}_t B_t+\sum_{i=1}^n \phi_t^i S_t^i
自融资
在 [0,T] 内，投资人在决定投资策略后，没有加入新资金，也没有抽走资金。
套利机会
对于一个自融资的投资，能够以一个正概率赚钱，也即：
\exists T^* \in[0, T] s.t. V_o(\Phi)=0,
V_{T^*}(\Phi) \geq 0 a.s.,
\mathbf{P}\left\{V_{T^*}(\boldsymbol{\Phi})>0\right\}>0
定理：假设市场是无套利的，则对于任意两个资产组合 \Phi_1,\Phi_2, 如果在 T 时刻有 V_T\left(\boldsymbol{\Phi}_1\right) \geq V_T\left(\boldsymbol{\Phi}_2\right) 并且 \mathbf{P}\left\{V_T\left(\boldsymbol{\Phi}_1\right)>V_T\left(\boldsymbol{\Phi}_2\right)\right\}>0，则对于任意 t\in[0,T), 有 V_t\left(\boldsymbol{\Phi}_1\right) > V_t\left(\boldsymbol{\Phi}_2\right)
证明：反证法。假设存在 \mathbf{t} * \in[\mathbf{0}, \mathbf{T}), s.t. V_{t^*}\left(\boldsymbol{\Phi}_1\right) \leq V_{t^*}\left(\boldsymbol{\Phi}_2\right) ，则可以令 E=V_{t^*}\left(\boldsymbol{\Phi}_2\right)-V_{t^*}\left(\boldsymbol{\Phi}_1\right) \geq 0, 考虑资产组合：\boldsymbol{\Phi}_{\mathbf{c}}=\boldsymbol{\Phi}_1-\boldsymbol{\Phi}_2+\frac{E}{B_{t^*}} B_t, B_t 为零息债券，则分析可知存在套利机会，矛盾。
引理（一价原理）假设市场是无套利的，则对于任意两个资产组合 \Phi_1,\Phi_2， 如果 V_T(\Phi_1)=V_T(\Phi_2), 则对于任意 t\in[0,T],V_t(\Phi_1)=V_t(\Phi_2)
证明：考虑资产组合 \boldsymbol{\Phi}_{\mathbf{c}}=\boldsymbol{\Phi}_1-\boldsymbol{\Phi}_2+\varepsilon B_t, \varepsilon > 0,则 V_T(\Phi_c)>0，根据上述定理，有 \forall \mathbf{t} \in[\mathbf{0}, \mathbf{T}), V_t\left(\boldsymbol{\Phi}_c\right)>0，再令 \varepsilon \rightarrow 0,可得 V_t\left(\Phi_1\right) \geq V_t\left(\Phi_2\right)，类似的 V_t\left(\boldsymbol{\Phi}_1\right) \leq V_t\left(\boldsymbol{\Phi}_2\right)，从而 V_t\left(\boldsymbol{\Phi}_1\right)=V_t\left(\boldsymbol{\Phi}_2\right)
推论：假设无套利，若 V_T\left(\Phi_1\right) \geq V_T\left(\Phi_2\right)，则对于任意 t\in[0,T],V_t\left(\Phi_1\right) \geq V_t\left(\Phi_2\right)
无套利分析法
如果两个资产组合终值相等，现值不等，则买低卖高（买进被低估的资产，卖空被高估的资产）。
期权价格的特征
- 实值期权：马上执行就能有正的现金流
- 平值期权：零现金流
- 虚值期权：负现金流
内在价值
看涨期权 : \max (S-K, 0)
看跌期权 : \max (\mathrm{K}-\mathrm{S}, 0)
股价越高，交割价越低，看涨期权价值越高；时间越长，美式期权越贵，欧式期权不一定；波动率越大，期权越贵
期权价格的界
标的资产没有红利支付时：
c \leq S_0, \quad C \leq S_0
{p} \leq {K e}^{-{rT}}, \quad {P} \leq {K}
c \geq S_0-K e^{-r T}
{p} \geq K e^{-r T}-S_0
看跌-看涨平价关系
c+K e^{-r T}=p+S_0（利用一价原理证明）
美式期权
{C} \geq \max \left({S}_0-{K}, 0\right)，{P} \geq \max \left({K}-{S}_0, 0\right)
C \geq c, \quad P \geq p
若标的资产不支付红利，则美式看涨期权不会提前执行，此时欧式看涨期权和美式看涨期权价格相等。如何理解呢？
方法一: 考虑两个投资策略：
A: 在 0 \leq t<T 时刻提前执行了，那么可以得到 S_t-K,积累到 T 时刻为 e^{r(T-t)}(S_t-K)
B： t 时刻不提前行权，而是卖空一股股票，得到 S_t，将其积累到 T 时刻，若 T 时刻有 S_T>K，看涨期权执行，花费 K 得到一股股票，从而净现金流为 e^{r(T-t)}S_t-K; 若 T 时刻有 S_T<K，看涨期权不执行，花费 S_T 去市场上购买一股股票，从而净现金流为 e^{r(T-t)}S_t-S_T，显然策略B更优，因此不应该提前执行。
方法二：直接通过期权的下界推导
C\geq c \geq S_0-K e^{-r T}> S_0-K，右边是立即行权值，左边是期权的价格，因此与其提前行权，还不如卖掉期权。
方法三: 假设 C\geq c，则可以卖掉美式看涨，买入欧式看涨。则可以得到 C-c. 假设美式期权在 t 时刻被执行了，那么可以先去借一股股票，然后得到 K，等到 T 时刻，可以利用欧式看涨期权花费 K 得到股票，或者在市场上以更低的价格购买股票，最后的利润至少是 (C-c)e^{rT}+(Ke^{r(T-t)}-K)>0,假设美式期权没有执行，那么最后就剩下一个欧式期权，最后的利润是 (C-c)e^{rT}>0，总之就存在套利机会了，因此只能是 C=c.
注：如果股票是支付红利的，那是应该提前执行的,尤其是在除权日 前；美式看跌期权是有可能提前执行的，特别是当期权价格deep in the money的时候。
美式期权价格的界限
{S}_0-K \leq C-P \leq S_0-K e^{-r T}
有红利派发的情形
令 D 为所有红利的现值，则
\begin{aligned} &c \geq S_0-D-K e^{-r T}\\ &{p} \geq D+K e^{-r T}-S_0\\ &{c}+{D}+{Ke}^{-{rT}}={p}+{S}_0\\ \end{aligned}
其实就是用 S_0-D 代替 S_0
敲定价格的影响
记 c(K) 为敲定价格为 K 的欧式看涨期权价格，对于任意两个欧式看涨期权，到期时间均为 T 时，若 K_1>K_2，则有：
0 \leq c\left({K}_2\right)-c\left(K_1\right) \leq K_1-K_2
类似的，0 \leq p\left(K_1\right)-p\left(K_2\right) \leq K_1-K_2
事实上，还有如下更强的结论（Lipschitz 条件）：
\begin{aligned}&\left|c\left(K_1\right)-c\left(K_2\right)\right| \leq {e}^{-{rT}}\left|{K}_1-{K}_2\right| \\&\left|{p}\left({K}_1\right)-{p}\left({K}_2\right)\right| \leq {e}^{-{rT}}\left|{K}_1-{K}_2\right|\end{aligned}
证明：由平价公式：
\begin{aligned}&c\left(K_1\right)-p\left(K_1\right)=S_0-K_1 e^{-r T} \\&c\left(K_2\right)-p\left(K_2\right)=S_0-K_2 e^{-r T}\end{aligned}
两式相减即可得。
期权价格的凸性
仍然沿用上面的负号，令 K_1>K_2，{K}_\lambda={K}_1+(1-\lambda) {K}_2, {0} \leq \lambda \leq 1，则有：
c\left(K_\lambda\right) \leq \lambda c\left(K_1\right)+(1-\lambda) c\left(K_2\right),p\left(K_\lambda\right) \leq \lambda p\left(K_1\right)+(1-\lambda) p\left(K_2\right)
证明：注意到 g(K):=\max \left(S_T-K, 0\right) 是关于 K 的凸函数，构造两个资产组合：
(A) 看涨期权多头 c( {K}_\lambda);
(B) 看涨期权多头 \lambda c\left(K_1\right) , 看涨期权多头 (1-\lambda) c\left(K_2\right)
再利用无套利原理和凸函数的性质即可。
例题：（懒得翻译了）A double call option \left(K_1, t_1, K_2, t_2\right) is one that can be exercised either at time t_1 with strike price K_1, or at time t_2\left(t_2>t_1\right) with strike price {K}_2.
Argue that you will never exercise the option at time t_1 if K_1>e^{-r\left(t_2-t_1\right)} K_2.
证明：像这种提前执行的题目，一般都是考虑两中选择，一个是提前执行，还有一个是卖空股票，仿照我们前面分析美式期权不应该提前执行的方法就可以解出这道题。
第一种选择--提前执行: 那么 t_2 时刻可以得到
\left(S_{t_1}-K_1\right) e^{r\left(t_2-t_1\right)} .
第二种选择--不提前执行，而是在 t_1时刻卖空股票: 那么t_2 时刻可以得到
S_{t_1} e^{r\left(t_2-t_1\right)}+\max \left(S_{t_2}-K_2, 0\right)-S_{t_2} \geq S_{t_1} e^{r\left(t_2-t_1\right)}+S_{t_2}-K_2-S_{t_2}
右边等价于
S_{t_1} e^{r\left(t_2-t_1\right)}-K_2 .
而题目里面说了 K_1>e^{-r\left(t_2-t_1\right)} K_2，所以显然第二种选择更好。
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