今天看到了这个问题，是关于阿里数学竞赛的一道题的解法。原题如下：
问题
一家牛奶公司在新年举办促销活动，每盒牛奶赠送一个红包（卡片）。每个卡片都有一个汉字，汉字可能是虎 、生、威 ，且概率相等。人们试图收集两个虎，一个生和一个威，这样他们就可以组成幸运短语“虎虎生威”。
问：获得“虎虎生威”所需的牛奶盒数的期望值是多少？
A)19/3
B) 22/3
C) 25/3
D) 28/3
E)以上都不是
原作者的答案在这里
其实这一类问题是金融公司quant面试的常见题。如果要像上文作者那样用无穷技术求解的话估计这个面试就要黄掉了。事实上这个问题有相对简单的代数递推解法。
这是一个典型的马尔可夫链的状态转移问题。画出状态转换图一切就一目了然了(本人不善画图，画这张劣质图所用的时间远远超过了解题本身 ～）。
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说明：用H, S, W分别代表虎，生，威三个字。那么从初态出发，一直到终态(对应收集到2H,1W,1S)为止，共有12个状态，其转移到下个态的转移概率如下，对应一个12x12的转移概率矩阵(懒得写了，写了对于解题也没什么帮助)。问题在于求出各个状态对应的到达终态的抽卡数条件期望。从红色的三个状态出发，列出方程，求出其对应的条件期望，然后再代入求出对应的天蓝色，绿色的条件期望，最后得到初态的期望数。
\begin{cases} E_{HHW}=1+ \frac{2}{3}E_{HHW}\\ E_{HHS}=1+ \frac{2}{3}E_{HHS}\\ E_{HSW}=1+ \frac{2}{3}E_{HSW}\\ \end{cases}
解出 E_{HHS}=E_{HHW}=E_{HSW}=3
\begin{cases} E_{HH}=1+ \frac{1}{3}E_{HH} + \frac{1}{3}E_{HHS} + \frac{1}{3}E_{HHW}\\ E_{HS}=1+ \frac{1}{3}E_{HS} + \frac{1}{3}E_{HHS} + \frac{1}{3}E_{HSW}\\ E_{HW}=1+ \frac{1}{3}E_{HW} + \frac{1}{3}E_{HHW} + \frac{1}{3}E_{HSW}\\ E_{SW}=1+ \frac{2}{3}E_{SW} + \frac{1}{3}E_{HSW} \end{cases}
解出 E_{HH}=E_{HS}=E_{HW}=\frac{9}{2}\\ E_{SW}=6
\begin{cases} E_{H}=1+ \frac{1}{3}E_{HH} + \frac{1}{3}E_{HS} + \frac{1}{3}E_{HW}\\ E_{S}=1+ \frac{1}{3}E_{S} + \frac{1}{3}E_{HS} +\frac{1}{3}E_{SW} \\ E_{W}=1+ \frac{1}{3}E_{W} +\frac{1}{3}E_{HW} + \frac{1}{3}E_{SW} \end{cases}
解出 E_{H}=\frac{11}{2}\\ E_{S}=E_{W}=\frac{27}{4}
E = 1 + \frac{1}{3} (E_H + E_S + E_W) = \frac{22}{3} |
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