随机波动率模型(Stochastic volatility model)与局域波动率模型(Local volatility model)是Black-Scholes模型的推广。
回顾一下Black-Scholes模型中的股票价格走势：
dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t. \\
在时间dt内的相对回报为：
\frac{dS_t}{S_t} = \mu dt + \sigma dW_t. \\
相对回报的波动率是常数\sigma。
局域波动率模型
局域波动率模型将\sigma换成一个关于S_t的函数，这种情况下，股票价格的走势符合如下随机微分方程：
dS_t = \mu S_t dt + \sigma(S_t) S_t dW_t. \\
如果我们把\sigma(S_t)设定为\sigma(S_t)=\sigma S_t^{\beta}，我们就得到了著名的constant-elasticity-of-variance (CEV)模型。在\beta<0的情况下:
- 股票价格S_t上升，波动率\sigma(S_t)=\sigma S_t^{\beta}下降；
- 股票价格S_t下降，波动率\sigma(S_t)=\sigma S_t^{\beta}上升。
这很好地描述了所谓的杠杆效应(leverage effect)，即股票价格和波动率呈现负相关的现象。可惜的是，一般情形下，CEV模型的随机微分方程没有解析解。
随机波动率模型
随机波动率模型把\sigma换成一个随机过程\sigma_t = \sqrt{v_t}。v_t符合一个平方根扩散过程(Square-root diffusion)：
dv_t = \kappa(\theta-v_t)dt + \sigma_v \sqrt{v_t} dB_{1,t}. \\
其中B_{1,t}为一个布朗运动。
v_t具有均值回归的性质，因为：
- 当v_t > \theta，第一项（趋势项）为负，v_t有向下走的趋势；
- 当v_t < \theta，第一项（趋势项）为正，v_t有向上走的趋势。
总之，v_t在\theta的周围波动。
另外v_t始终非负。这是因为当v_t非常靠近0时，扩散项\sigma_v \sqrt{v_t} dB_{1,t}约为0，而趋势项\kappa(\theta-v_t)dt \approx \kappa\theta dt > 0，这会把v_t推回正半轴。
当我们把Black-Scholes模型中的常数波动率用\sigma_t = \sqrt{v_t}替代之后，我们就有股票价格模型：
dS_t = \mu S_t dt + \sqrt{v_t}S_t dB_{2,t}. \\
其中B_{2,t}为布朗运动。
v_t中的布朗运动B_{1,t}与S_t中的布朗运动B_{2,t}的相关系数为\rho，即：
dB_{1,t} dB_{2,t} = \rho dt. \\
如果\rho < 0，我们就引入了S_t与v_t走势的负相关性，这也能刻画杠杆效应。
两个相关性为\rho的布朗运动可以通过两个独立的布朗运动W_{1,t}和W_{2,t}来构造：\begin{align*} B_{1,t}=W_{1,t},\ B_{2,t}=\rho W_{1,t} + \sqrt{1-\rho^2} W_{2,t}. \end{align*}\\ |
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