Black-Scholes期权定价模型

Black-Scholes模型可以说是最经典的用来做期权定价和对冲的数学模型，它由Black和Scholes首先提出，用来定价欧式期权（European option），后经Merton修改，使其在有股息（dividend）的情况下也可使用。此模型假设期权的基础股票（underlying stock）遵循几何布朗运动（geometric Brownian motion），并依此给出期权的唯一价格。此外，它还被用于推导期权的Greeks，以构造对冲（hedge）资产组合来消除风险。在本篇文章中，我们来介绍Black-Scholes模型和与资产定价相关的结论。
1 Black-Scholes偏微分方程和Black-Scholes公式

我们首先介绍Black-Scholes偏微分方程（PDE），即期权价格满足的一个偏微分方程。我们来考虑一个成交价格（strike price）为、到期时间（maturity）为、无股息支付的欧式看涨期权（European call option）。假设基础股票的价格满足几何布朗运动

几何布朗运动

其中是标准布朗运动（standard Brownian motion）。令在时间时有元钱现金账户（cash account）在时间的价值为元，其中是恒定利率（constant interest rate），即。将看涨期权在时间的价格写作，根据伊藤引理，我们有

现在构造自融资（self-financing）投资组合（没有外部金钱流入或流出），在时间时，持有单位的现金账户和单位的股票，所以。我们选取和的值，以复制看涨期权的价值。根据自融资假设，

当我们把前面两个等式的相应项对应起来，我们有和。若我们设置为自融资投资组合的起始价值，我们有。将前面两个等式带入，我们得到

通过变量变换可以将Black-Scholes PDE 转化为热方程（heat equation），其中，，。由于边界条件（boundary condition）为的热方程的解是，且欧式看涨期权的边界条件为，我们可以得到。令，当时，，所以

通过计算此积分（在下一部分中进行）和这一关系，我们可以得到欧式看涨期权定价的Black-Scholes公式

这里是标准正态分布（standard normal distribution）的累积分布函数（CDF）。类似地，我们可以得到欧式看跌期权（European put option）定价的Black-Scholes公式

2 风险中性定价

在上一部分中，我们发现，Black-Scholes PDE中没有出现，所以当时Black-Scholes PDE仍成立。这时投资者对持有股票没有溢价（premium）需求，而这只有在投资者是风险中性（risk-neutral）时才会发生，所以我们可以用风险中性定价求得Black-Scholes模型中欧式看涨期权的价格。
在风险中性概率测度（risk-neutral probability measure）下，股价遵循的几何布朗运动的漂移项（drift term）是无风险利率

在风险中性概率测度下，期权价格时预期回报（expected payoff）用无风险利率的折现值（discounted value），即，这里是期权在到期时间的回报。对应用伊藤引理，我们有，所以，即，其中。对于欧式看涨期权，，且当时，。那么，折现预期回报就是上一部分中需要计算的积分

令，当时，。这样，，且。所以我们得到欧式看涨期权的Black-Scholes公式

类似地，我们可以得到欧式看跌期权（European put option）定价的Black-Scholes公式

当期权的基础股票支付恒定连续股息时，在风险中性概率测度下，

这种情况下的Black-Scholes公式是

值得注意的是，Black-Scholes模型是一个完全模型（complete model），即所有衍生品都是可复制的（replicable），且每个衍生品都有唯一定价。
3 波动率曲面

Black-Scholes模型是一个理想化的模型，它在实践中的表现并没有那么好。例如，模型假设股价遵循连续的几何布朗运动，而在现实中股价可能出现跳跃。此外，如果股价波动率如模型所规定那样是恒定的，隐含波动率曲面（implied volatility surface）应该是平的。隐含波动率是当期权的Black-Scholes价格等于其市场价格时，股价波动率的值，它由隐函数

定义，这里是关于成交价和到期时间的函数，而代表对应期权的市场价格。

隐含波动率曲面

波动率曲面的主要特征之一是，成交价越低的期权，隐含波动率越高。在到期时间固定时，这一特征被称为波动率倾斜（volatility skew）。当成交价固定时，隐含波动率可以随到期时间增长增大或减小。普遍来说，当，会收敛于一个常数。而当较小时，我们会观察到反转波动率曲面（inverted volatility surface），短期期权的隐含波动率远高于期限更长的期权。
无套利原则（no arbitrage principle）对波动率曲面的形状做出了规定。首先，隐含波动率是非负的。此外，给定固定到期时间，波动率倾斜不能太陡，否则会出现蝴蝶套利（butterfly arbitrage）机会。如果套利不存在，那么当，看跌期权价格必须满足。可是若波动率倾斜太陡，可能会出现，即套利机会。还有，隐含波动率的期限结构（term structure）的反转程度不能太高，否则会出现日历价差套利（calendar spread arbitrage）机会。假设，固定成交价，根据风险中性定价，到期时间为的看涨期权在时间的价格是。由于是一个下鞅（submartingale），关于单调递增。而如果期限结构的反转程度太高，这可能不成立。
对于波动率倾斜（给定一到期时间，隐含波动率随成交价降低而升高），有两条主要原因。一是投资者的风险厌恶（risk-aversion）心理。首先，股价不遵循几何布朗运动，而是存在跳跃，且向下的跳跃比向上的跳跃更大更频繁。其次，当市场下行，恐惧心理会使波动率增加。还有，投资者对于低成交价期权的需求更大，因为他们会购买价外（out-of-the-money）看跌期权来作为投资组合的保险。第二条主要原因是杠杆效应（leverage effect），即权益（equity）波动率随权益减小而增大。Merton的研究指出，公司的权益可以看作关于公司总价值的看涨期权。由于公司总价值等于其权益加负债（debt），即，当负债风险较小时，，即

4 Greeks

期权的Greeks衡量期权价格关于随参数变化的敏感程度。期权的Delta衡量期权价格关于随股价变化的敏感程度。对于欧式看涨和看跌期权，

Delta是最重要的Greek，因为它通常会带来最大的风险。许多投资者会在一天结束时将Delta归零，并遵循Black-Scholes模型定义的Delta中性对冲方法。

不同到期时间的看涨期权的Delta

另外投资者还会关注Delta关于随股价变化的敏感程度Gamma。对于欧式看涨和看跌期权，它们的Gamma相等，

这里是标准正态分布的概率分布函数（PDF）。Gamma由于期权的凸性（convexity）总是正的。有些投资者会做多Gamma，利用Gamma scalping来挣钱。他们会通过再平衡（rebalance）投资组合来实现Delta中性。

不同到期时间的看涨期权的Gamma

另一个重要的Greek是Theta，它是期权价格关于随到期时间负变化的敏感程度。对于欧式看涨和看跌期权，

价内（in-the-money）看跌期权的可以是正的，且当较大时，价内看涨期权的也可以是正的。然而，在一般情况下，看涨期权和看跌期权的都为负值。

不同到期时间的看涨期权的Theta

我们可以根据Black-Scholes PDE推出Delta、Gamma和Theta的关系。由于

这里指代投资组合的价值，我们可以得到关系

如果投资组合是Delta对冲组合，即对投资组合连续地再平衡被，以保证，那么

不难看出，从Gamma得到的收益会被从Theta产生的损失抵消。
5 奇异期权定价

Black-Scholes模型还可以被应用于奇异期权（exotic option）的定价。根据其回报函数，我们可以轻易得到几种指状期权（digital option）的Black-Scholes价格。若在到期时间现价大于成交价，现金或有看涨期权（cash-or-nothing call option）支付元，否则支付元，它的Black-Scholes价格是

类似地，现金或有看跌期权的Black-Scholes价格是

若在到期时间现价大于成交价，资产或有看涨期权（asset-or-nothing call option）支付单位资产，否则支付元，它的Black-Scholes价格是

类似地，资产或有看跌期权的Black-Scholes价格是

事实上，欧式看涨期权可被分解为做多单位的资产或有看涨期权加上做空单位的现金或有看涨期权，欧式看跌期权可被分解为做多单位的现金或有看跌期权加上做空单位的资产或有看跌期权。
另外，指状期权还可以用不依靠特定模型的方式来定价。以现金或有看涨期权为例，它的价格可被定义为

这意味着指状期权可以由波动率曲面唯一地定价。令，我们得到

这里Vega衡量的是期权价格关于随波动了率变化的敏感程度。
Black-Scholes模型还可以被用于交换期权（exchange option）的定价。假设两个无股息支付的股票遵循

且。令，根据伊藤引理，

的瞬时方差（instantaneous variance）是。定义，并定义过程，使其满足

由于，根据莱维特征标记定理（Levy&#39;s characterization theorem），是一个布朗运动。这样，就是一个几何布朗运动，它在原始概率测度下满足

其中。
在到期时间，交换期权的回报是，所以鞅（martingale）定价给出的其在时间的价格为，这里是原始概率测度。此条件期望（conditional expectation）可以直接计算，但过程会比较冗长。一个更简单的方法是用计价物变换（change of numeraire）。若我们以为计价物，并令为相应的概率测度，鞅定价给出

我们知道在原始测度下的动态，而根据吉尔萨诺夫定理（Girsanov&#39;s theorem），测度变换后，只有漂移项会变，而波动率不会变。又因为在测度下是一个鞅，其在测度下的漂移项为。那么就变成了无风险利率为、成交价为的Black-Scholes期权价格，即

6 远期合约和Black公式

若令为在到期时间交割的股票远期合约（forward）在时间的价格，那么欧式看涨期权的Black-Scholes公式可被写为

当期权价格写作关于远期价格（forward price）而非现价（spot price）的函数时，期权价格的公式被称作Black公式，它强调了远期价格在期权定价中的重要性。注意在Black公式中，期权价格被表达为以无风险利率折现的期权预期回报。
Black-Scholes模型很容易应用各类衍生品的定价。当然，在所有这些情况下，人们都很清楚，该模型有许多缺点。因此该模型在很多方面得到了改进，改进后的包括跳跃扩散（jump diffusion）模型、随机波动率（stochastic volatility）模型、局部波动率（local volatility）模型等。Black-Scholes模型的主要用途之一是通过隐含波动率为衍生品报价（quote price）。即使对于不遵循几何布朗运动的证券，人们也会这样做。
参考文献

[1] Kerry Back. A Course in Derivative Securities: Introduction to Theory and Computation.
[2] Tomas Bjork. Arbitrage Theory in Continuous Time.
[3] Steven E. Shreve. Stochastic Calculus for Finance II-Continuous-Time Models. Springer Finance. Springer, New York, 2004.