CFA2级读书B29：无套利的估值框架

1. 无套利估值介绍

1.1 无套利估值的含义

无套利估值(Arbitrage-free valuation)是指在没有套利机会的情况下确定证券价值的一种证券估值方法，套利机会(arbitrage opportunity)是指在没有任何净投资的情况下获得无风险利润的交易机会。在运转良好的市场中，价格会不断调整，直到没有套利机会，这就是无套利原则(principle of no arbitrage)，它是无套利估值的实际有效性的基础。这一原则本身可以被认为是一种理念的暗示，即相同的资产应该以相同的价格出售。
这些概念将在短期内更详细地解释，但为了说明它们是如何在债券估值中产生的，首先考虑一个虚构的世界，在这个世界中，金融资产是无风险的，基准收益率曲线是平的。在本章中，收益率、利率和贴现率这三个术语是可以互换使用的。平坦的收益率曲线意味着，无论现金流何时及时交付，所有现金流的相关收益率都是相同的。因此，债券的价值就是其未来一定现金流的现值。在贴现这些现金流决定其现值时，投资者将使用无风险利率，因为现金流是确定的;因为收益率曲线被假设为平坦的，所以存在一种无风险利率，并适用于所有未来的现金流。这是我们能想到的最简单的债券估值例子。当我们退出这个假想的世界，进入更现实的环境时，债券现金流是有风险的(也就是说，借款人有可能违约)，而且基准收益率曲线并不平坦。我们的方法将如何改变？
估值的一个基本原则是，任何金融资产的价值等于其预期未来现金流量的现值。这一原则适用于任何金融资产，从零息债券到利率互换。因此，对一项金融资产的估值包括以下三个步骤：

估计未来现金流
确定用于现金流贴现的适当的贴现率
通过应用在步骤2中确定的适当的贴现率或利率，计算出在步骤1中发现的预期未来现金流量的现值

传统的债券估值方法是以相同的贴现率折现所有现金流，就像收益率曲线是平的一样。然而，债券应该被认为是零息债券的组合或投资组合，也被称为零息或贴现工具。这种组合中的每一种零息债券都可以按贴现率分别进行估值，贴现率取决于收益率曲线的形状以及其单一现金流的及时交付时间。这些贴现率的期限结构称为即期曲线。通过这样一个过程确定的各个零位(现金流)的现值求和得到的债券价值可以被证明是无套利的。如果暂时不考虑交易成本，如果债券的价值远远小于其单独现金流的价值之和，交易员就会发现一个套利机会，买入债券，同时出售对单独现金流的索取权，将多余的价值装入自己的口袋。尽管细节还需要进一步讨论，但基于即期曲线对零资产组合的债券估值是无套利估值的一个例子。不管债券有多复杂，每个组成部分都必须有一个无套利价值。有嵌入期权的债券可以用无套利债券(即无嵌入期权的债券)和每个期权的无套利价值的总和来计算。
1.2 一价定律

金融经济学的核心思想是，市场价格会不断调整，直到没有套利机会。价格会不断调整，直到没有闲钱可赚为止。套利机会来源于违反一价定律。一价定律指出，在没有交易成本的情况下，两种完全替代品必须以相同的当期价格出售。两种完全相同的商品并排交易，价格是一样的。否则，如果交易是无成本的，人们就会同时以较低的价格买进，以较高的价格卖出。无风险利润是价格的差值。一个人会无限制地重复这一交易，直到两种价格趋同。这些市场力量的含义看似简单而基本。如果你不投入自己的钱，不承担风险，你的预期回报应该是零。
1.3 套利机会

套利机会是指不涉及现金支出，从而产生无风险利润的交易。套利机会有两种。第一类套利机会通常被称为价值可加性(value additivity)，即整体的价值等于部分价值的总和。考虑两个无风险的投资，一年后的今天有回报，今天的价格如下表所示：

资产	今天的价格	一年的收益
A	0.952381	1
B	97	105
C	100	105
D	200	220

资产A是一种简单的无风险零息债券，支付1美元，今天的价格为0.952381(= 1/1.05)。资产B是一个有105单位资产A的投资组合，一年后支付105单位，今天的价格是97。投资组合并不等于各部分之和。投资组合(资产B)比以100的价格购买105单位的资产A便宜，然后组合。一个精明的投资者会以1050.952381 = 100的价格卖出105个单位的资产A，同时以97的价格买入资产B。这一头寸今天产生一个特定的3(10097)，一年后产生净0，因为资产B的现金流入与资产a卖出的105单位的金额相匹配。投资者会重复这一交易，直到价格相等。
第二种套利机会通常被称为支配(dominance)。未来无风险收益的金融资产今天的价格必须是正的。考虑两种资产，C和D，它们是无风险的零息债券。一年内的收益和今天的价格显示在表中。仔细观察，似乎资产D相对于资产C便宜。如果两种资产都是无风险的，它们应该有相同的贴现率。为了赚钱，以200的价格出售两单位的资产C，然后用所得的钱以200的价格购买一单位的资产D。投资组合的构建不涉及今天的净现金支出。虽然现在构建这个投资组合需要零美元，但是一年后可以产生10美元。资产D将产生220个现金流入，而出售两个单位的资产C将产生210个现金流出。
这两种套利机会的存在都是暂时的。意识到这种错误定价的投资者将对相关证券提出无限量的需求。为了恢复稳定，必须做出一些改变。价格会调整，直到没有套利机会。
1.4 无套利估值对固定收益证券的影响

使用无套利方法，任何固定收益证券都应该被视为零息债券的一揽子或投资组合。因此，5年期2%息票率的国债应被视为11个零息票率工具的组合(10个半年息票，其中1个到期时支付，1个到期时支付本金)。促成这种做法的美国国债市场机制，是交易商将债券的个别现金流分离，并将其作为零息证券进行交易的能力。这个过程叫做剥离(stripping)。此外，交易商可以重组适当的个别零息证券，并复制相应的票面国债。这个过程被称为重构(reconstitution)。全球主权债务市场的交易商可以自由参与同样的过程。
当价值可加性不成立时，套利利润是可能的。无套利估值方法不允许市场参与者通过剥离和重组来实现套利利润。通过将任何证券视为零息证券的一揽子，就可以制定出一致和连贯的估值框架。将一种证券视为一组零息债券，是指期限相同但票面利率不同的两种债券被视为不同的零息债券组合，并相应地定价。此外，两个在同一时间交付的具有相同风险的现金流将使用相同的贴现率进行估值，即使它们是附属于两种不同的债券。
2. 利率二叉树

对于无期权的债券，最简单的无套利估值方法是使用基准即期利率将预期未来价值的现值之和确定为无套利价值。基准证券是流动性强、安全的证券，其收益率是一个国家或货币的其他利率的基础。主权债务是许多国家的基准。在主权债务市场流动性不足的市场，互换曲线是一种可行的替代方案。在本章中，基准债券被假设为市场正确定价。我们开发的估值模型将被构建来精确地重现基准债券的价格。
对于无期权债券，用即期利率进行估值贴现产生无套利估值。对于那些内置期权的债券，我们需要一种不同的方法。在为嵌入期权的债券制定估值框架时，人们面临的挑战是，它们预期的未来现金流取决于利率。如果是无选择权债券，利率的变化不会对债券的现金流动规模和时间产生影响。对于附有期权的债券，未来利率的变化会影响期权被行使的可能性，从而影响现金流。因此，要建立一个既能评估无嵌入期权也能评估嵌入期权的债券价值的框架，我们必须允许利率在未来根据某种假定的波动水平呈现出不同的潜在价值。描绘这一信息的工具是代表与假定波动率一致的可能的未来利率树。因为利率树类似于晶格，所以这些模型通常被称为晶格模型(lattice model)。利率树在估值过程中发挥了两个功能：(1)产生与利率有关的现金流，(2)提供用于确定现金流现值的利率。
利率模型旨在确定被认为可以解释利率动态的要素或因素。这些因子在本质上是随机的或随机的，所以我们无法预测任何因子的路径。因此，一个利率模型必须指定一个统计过程来描述这些因素的随机特性，以合理准确地表示利率的行为。需要理解的重要一点是，通常使用的利率模型是基于短期利率如何随时间演变。因此，这些利率模型被称为单因素模型，因为在一段时间内只有一种利率被建模。更复杂的模型考虑不止一种利率如何随时间变化(例如，短期利率和长期利率)，被称为双因素模型。
2.1 定义二叉树

二项式利率树如下图所示，我们的目标是学习如何用利率填充这个结构：

代表不同的潜在价值一年期利率可能会随着时间的推移而变化。随着树从左到右移动，可能的利率数量增加。第一个是当前时间(以年为单位)，正式的说法是时间0。时间0处显示的利率是将时间1支付转换为时间0现值的贴现率。在图的底部，时间是测量单位。注意可能的利率之间有一年的间隔。这被称为时间步长(time step)，在我们的演示中，它与年度现金流的频率相匹配。称为节点(node)。第一个节点称为树的根，是时间0时的当前一年利率。此后，每个节点都由一个时间元素和一个变化率分量表示。
现在我们来讨论如何从今天开始计算一年期利率的两种可能值。需要两个假设：一个利率模型和利率的波动性。回想一下，一个利率模型将结构置于随机性之上。我们将使用对数正态随机遍历，得到的树结构通常被称为对数正态树。一个对数正态的利率模型保证了两个特性：

利率的非负性
在较高的利率下具有较高的波动性

在每个节点上，在时间1一年后有两个可能的利率。我们暂时假定每一种情况发生的概率都是相等的。我们将计算的两种可能的利率将会高于或低于一年后时间1的一年远期利率。为低于隐含远期利率的利率，为高于隐含远期利率的利率。对数正态随机游走假设和之间存在如下关系：

每个周期的随机可能性(几乎)集中在从基准曲线计算出的远期利率上。这种关系的直觉是快速和简单的。假设收益率曲线中的一年期远期隐含利率是时间1时一年期利率可能值的平均值。两种利率中较低的利率比均值低一个标准差(一年期隐含远期利率)，而比均值高一个标准差。随着标准差(即波动性)的增加，乘数也会增加，两种利率之间的距离会越来越远，但仍然(几乎)集中在从即期曲线推导出的隐含远期利率上。
我们使用下面的符号来描述时间1的树。令：

为假设一年期利率的波动性
为一年后时间1的较低的一年期远期利率
为一年后时间1的更高的一年期远期利率

在时间2，一年期利率有三个可能的值，令时间2的一年期远期利率分别为：

，，

中间利率将接近两年后从即期曲线推导出的隐含的一年期远期利率，而其他两个利率分别高于和低于该值的两个标准差。这种树叫做重组树(recombining tree)，因为有两条路径可以到达中间利率。该模型的这一特性导致了更快的计算速度，因为每个周期可能结果的数量呈线性增长，而不是指数增长。满足以下条件：

在时间3，一年期利率有4个可能的值：

，，，

满足以下条件：

下图显示了四年二项式利率树的符号。简化符号，将一年期利率集中在基准收益率曲线上隐含远期利率的树上，即t年后的一年期利率和中间利率。下标表示年末的利率，在第二年，它是时间2到时间3的利率。

方差是对概率分布离散度的度量。标准差是方差的平方根，与均值的单位相同。在一个简单的对数正态分布中，利率的变化与每一时期的单期利率水平成正比。波动率是相对于当前的汇率水平来衡量的。可以看出，对于对数正态分布，一年期利率的标准差等于。例如，如果是10%，而一年期利率是2%，那么一年期利率的标准差是2% * 10% = 0.2%，或20个bps。因此，利率高时，利率变动较大，而利率低时，利率变动较小。对数正态分布的特征之一是，负利率是不可能的，因为随着利率接近于零，利率的绝对变化变得越来越小。
估计利率波动率通常有两种方法。第一种方法使用基于最近的数据的历史利率波动率，假设这是对未来的指示。第二种估计利率波动率的方法是根据观察到的利率衍生品(如互换、上限、下限)的市场价格得出的，称为隐含波动率。
2.2 确定债券价值

为了找到一个节点上的债券价值，我们使用逆向归纳估值方法。除非违约，我们知道到期时债券将以面值计价。因此，我们从到期时开始，填写这些值，然后从右到左依次查找所需节点处的债券值。假设我们想确定时间1时最低节点处的债券值。为了找到这个值，我们必须首先计算在所选节点右侧的两个节点上的债券。紧靠右边的两个节点的债券值必须是可用的。
债券在任何一个节点的价值取决于未来的票面支付，以及债券的预期未来价值。这个期望值是远期利率较高的值和远期利率较低的值的平均值。这是一个简单的平均值，因为在对数正态模型中，利率上升或下降的概率是相等的。在期限结束时，即时刻到期的息票支付直接放在时刻节点的右侧。箭头指向两个可能的未来债券价值，一个是远期利率在时上升，另一个是利率下降。
下一步是确定票息支付的现值和预期的未来债券价值。相应的贴现率是在时间，时间开始时流行的一年期远期利率。债券在任何节点的价值由以下表达式决定：

3. 路径估值法

路径估值(Pathwise valuation)是二叉树中逆向归纳的另一种方法。二项式利率树指定了模型中所有可能的利率路径，而利率路径是指从当前时间到证券到期日的利率路径。路径估值计算每个可能的利率路径的债券的现值，并取路径之间的这些值的平均值。对于无期权债券，我们将使用路径估值方法来产生与反向归纳方法相同的价值。路径估值包括以下步骤：

指定树中所有可能路径的列表
确定沿着每个可能路径的债券的现值
计算所有可能路径的平均值

假设抛一枚均匀的硬币，并跟踪正面H和反面T有多少种组合方式。然后构建一个帕斯卡三角形。抛硬币，同时记录可能的结果：

(1, 1)：H；T
(1, 2, 1)：HH；HT，TH；TT
(1, 3, 3, 1)：HHH；HHT，HTH，THH；HTT，THT，TTH；TTT；

这个实验正好反映了二项利率树中利率路径的数量。每个时期的路径总数可以通过帕斯卡三角形来确定。看一个3年期零息债券的例子。从帕斯卡三角，有四种可能的路径到达第3年：HH, HT, TH, TT。指定4条路径以及沿着这些路径可能的远期利率。在下表中，右边的最后一列显示了每个路径的现值。例如，100/(1.01000 × 1.016121 × 1.017863) = 95.7291。右下角是所有路径的平均现值。

路径	第1年远期利率	第2年远期利率	第3年远期利率	现值
1	1.00%	1.61%	1.79%	95.7291
2	1.00%	1.61%	1.32%	96.1665
3	1.00%	1.19%	1.32%	96.5636
4	1.00%	1.19%	0.98%	96.8916
96.3377

4. 蒙特卡罗法

蒙特卡罗方法是一种可供选择的方法，用于模拟足够多的潜在利率路径，以发现证券的价值如何受到影响。该方法涉及随机选择路径来近似完全路径估值的结果。当证券的现金流与路径相关时，通常使用蒙特卡罗方法。现金流是路径依赖的，当收到的现金流取决于其达到当前水平的路径以及当前水平本身。例如，抵押贷款支持证券的估值在很大程度上取决于提前支付的水平。正如前面提到的，当利率下降时，提前还款倾向于增加，因为借款人更有可能偿还抵押贷款，并以较低的利率进行再融资。利率路径是在一定概率分布和波动率假设的基础上生成的，模型适合于当前基准利率期限结构。基准期限结构由当前即期利率曲线表示，这样，每个基准债券在所有利率路径上的平均现值等于其实际市场价值。通过使用这种方法，使模型不存在套利。
假设我们打算用蒙特卡罗方法对每月支付息票的30年期债券(例如MBS)进行估值。采取下列步骤：

在波动率假设和概率分布下，模拟多个(比如500个)一个月利率路径
模拟未来一个月利率产生即期利率
确定每条利率路径上的现金流
计算每条路径的现值
计算所有利率路径的平均现值

使用以上程序，该模型只会偶然地产生与市场价格相等的基准债券价值。我们希望确保这是事实；否则，该模型既不能拟合当前的即期曲线，也不能实现无套利。将一个常数加到所有路径上的所有利率上，使得每个基准债券的平均现值等于其市场价值。加在所有短期利率上的这个常数叫做漂移项(drift term)。当使用这种技术时，模型被称为漂移调整(drift adjusted)。
蒙特卡罗方法有多少条路径是合适的?在统计意义上，更多的路径增加了估计的准确性，但这并不意味着模型更接近于安全的真正基本价值。蒙特卡罗方法仅与所使用的估值模型和输入的准确性一样好。
收益率曲线建模者也经常在他们的蒙特卡罗估计中包含均值回归。均值回归始于一个常识性的概念：历史表明，利率几乎从不“过高”或“过低”。“过高”和“过低”的含义由建模者自行决定。我们通过实现产生未来利率的随机过程的上界和下界来实现均值回归。均值回归具有将利率从收益率曲线向隐含远期利率移动的作用。
5. 期限结构模型

5.1 模型选择

期限结构模型超越了之前用来描述期限结构动态的对数正态随机漫步方法，以对固定收益证券和衍生品进行定价和对冲。所有期限结构模型都对利率随时间变化的假设进行了简化。存在着许多不同的利率模型，它们的假设各不相同。可以说，有很多模型，因为没有一个模型能完美地捕捉利率动态。在选择期限结构模型时，建模者面临着简单性和准确性之间的权衡。
5.1.1 利率因子
固定收益证券及其衍生品的估值和对冲需要整个期限结构的信息。为了开发一种适用于定价和套期保值的期限结构模型，我们重点对决定期限结构的因素进行建模。最简单的一类模型使用一个因素（短期利率或单周期利率）作为驱动期限结构的因素。虽然使用一个因素似乎是有限的，因为它意味着所有的利率在任何短时间内都是朝着同一个方向移动的，但这并不意味着它们必须以相同的幅度移动。多因素模型包含额外的因素，如期限结构的斜率，随着模型复杂性的增加，因素的数量也在增加。
5.1.2 利率过程
期限结构模型使用随机过程来描述利率动态。这些随机过程有两个组成部分：一个漂移项和一个不确定项或随机项。虽然随机过程是连续时间的，但使用模型随时间积分的离散版本来获得跨越时间间隔的利率，模型可以适用于二项式或三项式利率格。对于单因素模型，描述短期汇率动态过程的一般形式是：

漂移项描述了预期(零波动率)的速率路径。例如，在短期汇率的单因素模型中，漂移描述了短期汇率随时间的预期演变。漂移项可以是常数回归，也可以是均值回归
第二项增加了过程的随机性或波动性。这个离散期限适用于具有期权特征的债券以及利率衍生品的定价，并且可以采取多种形式。是一个正态分布的维纳过程。鉴于正态分布的对称性，这些模型有可能且相当普遍地产生负利率的利率路径

5.1.3 模型的类
一类模型使用无套利方法，并结合对利率统计特性的假设。这类模型被称为无套利期限结构模型。无套利期限结构模型从一系列关于期限结构的假设开始（一个(或多个)因素和描述因素演化的随机过程），并假定期限结构是给定的，假设债券价格和由这些价格引导的期限结构都是正确的。无套利模型是参数化的，这是一个确定模型中变量值的过程，以便这些参数产生与当前市场价格相匹配的债券价格。
均衡期限结构模型寻求使用基本经济变量来描述期限结构动态，假设这些变量会影响利率。建模过程施加限制，允许推导债券和利率期权的均衡价格。
虽然均衡模型使用类似的连续随机差分方程来描述利率变化，但均衡模型参数并没有被强制要求产生与当前市场价格一致的债券价格。在一些市场参与者看来，这一特性是静态环境中的一个重大缺陷，例如当前的定价和对冲。然而，其他从业人员更喜欢均衡模型，因为它们不仅捕捉了反映在期限结构中的当前市场环境，而且还捕捉了许多不同未来路径的可能性。对于更多的动态应用，平衡模型可能是首选。
最著名的均衡模型是Cox-Ingersoll-Ross(CIR)模型和Vasicek模型，二者都假设了单因子，即短期利率。这种方法是合理的，因为根据经验，通常发现，平行变动可以解释90%以上的收益率变化。相比之下，多因子模型可能能够更精确地模拟收益率曲线的曲率，但以更高的复杂性为代价。无套利模型适合当前期限结构的原因是其参数较多。这些添加的参数增加了估计的计算需求。其他对比则更加技术性。其中包括均衡模型使用真实概率，而无套利模型使用所谓的风险中性概率。
5.2 均衡模型

5.2.1 CIR模型
CIR模型假设利率遵循一个均值回归过程。然而，汇率变动的方差随汇率水平的不同而不同。CIR模型使用以下公式来描述利率过程：

漂移项有三个分量。时刻的利率水平是，而是长期平均速率，所以它们的差是速率与其平均值之间的距离。如果速率是长期均值，那么漂移项等于零。漂移项参数调节速率，使速率恢复到其平均值。
CIR模型的另一个重要特征是随机分量随利率变化而变化。短期利率波动率是短期利率的函数。在低利率下，期限变得很小，这阻止了利率变为负值。
5.2.2 Vasicek模型
尽管与CIR模型不同，Vasicek模型不是在寻求优化消费和投资决策的个人的一般均衡的背景下发展起来的，但它被视为一种均衡期限结构模型。与CIR模型相似，Vasicek模型包含均值回归。Vasicek模型使用如下方程来描述利率过程：

Vasicek模型与CIR模型具有相同的漂移项，因此在短期汇率上趋于均值回归。随机或波动率项遵循一个随机正态分布，其均值为零，标准差为1。与CIR模型不同的是，利率的计算假设是在分析期间的恒定波动。与CIR模型一样，利率过程中只有一个随机驱动因素。Vasicek模型的一个关键特征是，理论上利率有可能变为负值。
5.3 无套利模型

5.3.1 Ho–Lee模型
在无套利模型(arbitrage-free models)中，分析从当前期限结构开始，从参考金融工具的市场价格推断。人们一直认为参考债券的定价是正确的。一般均衡模型只有几个参数，因此只能匹配几个期限结构点，与此不同的是，无套利模型允许参数随时间确定性地变化，从而产生更多的参数，从而产生更多的匹配点。因此，市场收益率曲线的建模精度可以达到为衍生品和嵌入期权的债券估值等应用所需的精度。
Ho–Lee模型根据市场数据进行校准，并使用二项式格点方法来生成未来可能的利率分布。在Ho-Lee模型中，短期汇率遵循如下的正常过程：

我们看到漂移项与时间有关。这种时间依赖性意味着在每个时间步上都存在的值，这对于模型产生与市场价格相匹配的价格是至关重要的。
Ho-Lee模型与Vasicek模型相似，具有恒定的波动率，由于正态分布的对称性和模型使用恒定的波动率，利率可能会变为负值。
5.3.2 Kalotay–Williams–Fabozzi模型
KWF模型与Ho-Lee模型相似，因为它假设恒定漂移、无均值回归和恒定波动。然而，随机微分方程描述了短期利率的对数的动力学，因此，短期利率的对数是正态分布的，这意味着短期利率本身是对数正态分布的。
KWF模型的微分过程是：

乍一看，对短期利率的对数建模的主要含义是，它将防止负利率。经过进一步的分析，很明显，利率选择值受到利率分布尾部的影响时存在定价影响。下面总结了这些期限结构模型之间的关键区别：

模型	类型	短期利率	漂移项	波动性
CIR	均衡	d r_t	以k的速度均值回归	以 \sqrt{r_t}变化
Vasicek	均衡	d r_t	以k的速度均值回归	常数
Ho–Lee	无套利	d r_t	时间依赖性	常数
KWF	无套利	d ln(r_t)	时间依赖性	常数

5.4 现代模型

单因素模型是现代利率模型所依赖的基石。目前的一些模型将这些模型扩展到包括多个因素，而其他模型则使用复杂的方法，将观察到的远期曲线与从利率期权价格提取的波动率结合起来。
Gauss+模型是一种多因素利率模型，广泛应用于估值和套期保值。Gauss+模型包含了短期、中期和长期利率。长期因素是均值回归，反映宏观经济变量的趋势。中期利率也回到了长期利率。短期利率不表现出随机成分，这与央行控制利率曲线短端是一致的。这导致各年期的波动率曲线呈驼峰状，其中中期利率波动性最大。
例1：Which of the following would be expected to provide the most accurate modeling with respect to the observed term structure?

A. CIR model
B. Ho–Lee model
C. Vasicek model

解析：选B。CIR模型和Vasicek模型属于均衡期限结构模型，Ho-Lee模型属于无套利期限结构模型。无套利期限结构模型的一个好处是，它们被校准到当前的期限结构。换句话说，证券的起始价格是市场上现有的价格。相反，均衡期限结构模型经常产生与当前市场数据不一致的期限结构。
（完）
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