hessian矩阵_Hessian矩阵以及在血管增强中的应用—OpenCV实现

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<p></p>
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  <img alt="2aff18ad7a6e3eee8d2c480a8343334b.png" src="https://beijingoptbbs.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/cs/5606289-3a9a25d7d650965d9d5ad28d02d4ed1a.png">
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<p>有别于广为人知的Sobel、Canny等一阶算法，基于Hessian矩阵能够得到图像二阶结果，这将帮助我们深入分析图像本质。</p>
<p>Hessian矩阵在图像处理中有着广泛的应用：其中在图像分割领域，包括边缘检测、纹理分析等；在图像增强领域，包括边缘增强、边缘消除等。</p>
<p>本文从Hessian矩阵定义出发，通过清晰简洁的数学推导和讲解实现公式到C++代码的转化。</p>
<p>为了帮助深入理解Hessian矩阵在图像处理中的能力，我们将详细讲解和实现经典的“血管增强”算法（Frangi算法）。</p>
<p>目录：</p>
<p>一、Hessian矩阵等相关理论基础</p>
<p>1.Hessian矩阵的由来及定义<br>2.数字图像处理之尺度空间理论<br>3.基于尺度理论的Hessian简化算法<br>4.Hessian矩阵特征值的求解方法<br>5.Hessian矩阵特征值的图像性质<br>6.高斯方程及二阶导数</p>
<p>二、“血管增强”算法（Frangi算法）原理</p>
<p>1.认识血管及其增强<br>2.Frangi论文基本原理<br>3.Frangi论文优缺点</p>
<p>三、编写代码进行具体实现</p>
<p>1.项目结构<br>2.计算Hessian矩阵<br>3.Hessian特征值的计算<br>4.frangi2d主要过程</p>
<p>1.项目结构<br>2.计算Hessian矩阵<br>3.Hessian特征值的计算<br>4.frangi2d主要过程</p>
<p>需要注意的是：</p>
<p>1、由于本文代码基于OpenCV基础库，所以题目中添加了“OpenCV实现”字样。</p>
<p>2、由于图像的二维特性，所以下文中所有“Hessian矩阵”都特指“二维Hessian矩阵”。</p>
<p><b>一、理论基础</b></p>
<p>这里的基础理论有点多，你可以先过一遍，然后在读代码的时候再回过头来加深理解，这样效果比较好。</p>
<p><b>1. </b>Hessian<b>矩阵的由来及定义</b><br>由高等数学知识可知，若一元函数</p>
<p></p>
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  <img alt="263b511932c5e089e0baedd1f1443046.png" src="https://beijingoptbbs.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/cs/5606289-18fdb3f802deacc95838ebb01e38f540.png">
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<p><br>在</p>
<p></p>
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  <img alt="ac9b7602cbbb3339b95c730facf4eb72.png" src="https://beijingoptbbs.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/cs/5606289-252a84a6b04f0e535e4466967ebc05a3.png">
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<p><br>点的某个邻域内具有任意阶导数，则</p>
<p></p>
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  <img alt="263b511932c5e089e0baedd1f1443046.png" src="https://beijingoptbbs.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/cs/5606289-18fdb3f802deacc95838ebb01e38f540.png">
</div>
<p> 在</p>
<p></p>
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  <img alt="8c2b2f5ed07239ec4eef7cbba90af0d3.png" src="https://beijingoptbbs.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/cs/5606289-04a16297f769558fe34ff8ced658ff1b.png">
</div>
<p> 点处的泰勒展开式为：</p>
<p></p>
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  <img alt="ddee519c378610b029e9010c89f459f5.png" src="https://beijingoptbbs.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/cs/5606289-25fc3a928bae217b7ae0cdf27426184b.png">
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<p> ，其中</p>
<p></p>
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  <img alt="e50f083de328a9836ee4ea4425d68765.png" src="https://beijingoptbbs.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/cs/5606289-40a85e0e79517601cb7a159d5b69e090.png">
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<p> ，</p>
<p></p>
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  <img alt="f7d4b4134dc977bb172dfe5e17791909.png" src="https://beijingoptbbs.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/cs/5606289-7f83385d4b37679a9c79084898b1b818.png">
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<p> 。<br>二元函数</p>
<p></p>
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  <img alt="252a6240357f918863c2c998679edcc3.png" src="https://beijingoptbbs.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/cs/5606289-94c39c24d67d9f0986412d8aa754fe68.png">
</div>
<p><br>在</p>
<p></p>
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  <img alt="52131830f22f8227d5c8fd68848f9486.png" src="https://beijingoptbbs.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/cs/5606289-05dbdabc91cdf8909d18c97c10007b0c.png">
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<p> 点处的泰勒展开式为：</p>
<p></p>
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  <img alt="500d17255d51b999d43a3cb47a82ea07.png" src="https://beijingoptbbs.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/cs/5606289-177c1e2ac4af9450cf09f9ef479cf59b.png">
</div>
<p></p>
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  <img alt="471c05ff0607519ec47f23d4382118ed.png" src="https://beijingoptbbs.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/cs/5606289-21d8dae0e4fdace562fb59b978cc8856.png">
</div>
<p><br>其中，</p>
<p></p>
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  <img alt="625f47f2ab4dce5f23a3b630cec82a58.png" src="https://beijingoptbbs.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/cs/5606289-9b1c083d9812c0dea5eff53dabb441a3.png">
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<p> 。<br>将上述展开式写成矩阵形式，则有：</p>
<p></p>
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  <img alt="44631d0ce0e346c2d64f5eeb7cb5c83c.png" src="https://beijingoptbbs.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/cs/5606289-d27aa0c5cc4a7ef82f35b95108478b81.png">
</div>
<p><br>即：</p>
<p></p>
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  <img alt="a058522537d0d609c45c915132933e98.png" src="h