线性代数学习点(三)：向量相加的几何表示

翻译过程稍有删减

向量的相加通常有两种方式：三角形法则和平行四边形法则。

三角形法则

在几何上，要将两个位移向量结合在一起，一个显然的策略是第一个向量的终点即为第二个向量的起点，如下图所示。

这即是向量加法三角形法则或者说“起点终点”法则的基础：将第二个向量的起点置于第一个向量的终点，这样，和向量的起点为第一个向量的起点，和向量的终点为第二个向量的终点。

平行四边形法则

另外一个方面，如果有两个力作用在同一目标上，要将这两个力向量合成，更好的选择是两个向量的起点相同，如下图所示。

这即是向量相加平行四边形法则或者说“起点起点”法则的基础：将两个向量的起点置于同一个点。两个向量构成平行四边形的两条边，平行四边形的对角线即为和向量，如上图所示。

幸运的是，这两个法则得到的结果是相同的：平行四边形的一半即为三角形，如下图所示。图中，紫色向量为红色向量和蓝色向量的和向量。

如果相加的两个向量中有一个为0向量，由于0向量的起点和终点重合，因此无论是根据三角形法则还是平行四边形法则，任意向量与0向量相加的结果是该向量： u + 0 = u or 0 + v =v.

对于任一给定向量的负向量，其长度与原向量相同，但方向完全相反，如下图所示。

任意向量与其负向量相加的结果为0向量：v + (-v) = 0.

借助负向量，对于向量的相减，我们可以表述为一个向量与另一个向量的负向量相加： u - v = u + (-v)，如下图所示。

上图是按照平行四边形法则得到的结果，如果平移 u – v，将其起点置于 v的终点，那么其终点则位于 u的终点，如下图所示。

因此，如果 u和 v有相同的起点，那么从三角形法则的观点看 u – v，其起点位于 v的终点，终点位于 u的终点。或者说， u – v是由 u 和 v构成的平行四边形的另外一条对角线，如上图所示。