<h3 style="margin-left:0cm;"><strong>函数依赖的定义</strong></h3>
<p style="margin-left:0cm;">关系模式中的各属性之间相互依赖、相互制约的联系称为数据依赖。数据依赖一般分为函数依赖、<a href="https://blog.csdn.net/Shishishi888/article/details/90144652">多值依赖</a>和连接依赖。其中函数依赖是最重要的数据依赖。</p>
<p style="margin-left:0cm;"><strong>函数依赖</strong>（Functional Dependency，FD）是关系模式中属性之间的一种逻辑依赖关系。例如，在一个有关学生的关系模式SCD（属性SNo，SN，Age，Dept，MN，CNo，Score分别代表学生证号，学生姓名，年龄，所属院系，院系主人姓名，选修课程号，分数）中，属性SNo与SN、Age和Dept之间都有一种依赖关系。由于一个SNo只对应一个学生，而一个学生只能属于一个系，所以当SNo的值确定之后，SN、Age、Dept的值也随之被唯一地确定了。这类似于变量之间的单值函数关系。设单值函数Y=F(X)，自变量X的值可以决定一个唯一的函数值Y。在这里,我们说SNo决定函数(SN, Age, Dept)，或者说(SN, Age, Dept)函数依赖于SNo。</p>
<p style="margin-left:0cm;">设关系模式R(U, F)，U是属性全集，F是U上的函数依赖集，X和Y是U的子集，如果对于R(U)的任意一个可能的关系r，对于X的每一个具体值，Y都有唯一的具体值与之对应，则称X决定函数Y，或Y函数依赖于X，记作X→Y。我们称X为决定因素，Y为依赖因素。当Y不函数依赖于X时，记作：YX。当X→Y且Y→X时，则记作：XF。</p>
<p style="margin-left:0cm;">对于关系模式SCD<br> U={SNo, SN, Age, Dept, MN, CNo, Score}<br> F={SNo→SN, SNo→Age, SNo→Dept, (SNo, CNo)→Score}<br> 一个SNo有多个Score的值与其对应，因此 Score不能唯一地确定，即Score不能函数依赖于SNo，所以有：SNoScore，同样有：SNoCNo。但是Score可以被(SNo, CNo)唯一地确定。所以可表示为：(SNo,CNO)→Score。<br> </p>
<h3 style="margin-left:0cm;"><br><strong>函数依赖的逻辑蕴涵定义</strong></h3>
<p style="margin-left:0cm;">假设已知关系模式R(X, Y, Z)有X→Y，Y→Z，问X→Z是否成立？能否从已知的函数依赖推导出XY→YZ？<br> 类似这些由已知的一组函数依赖，判断另外一些函数依赖是否成立或者能否从前者推导出后者的问题，就是<strong>函数依赖的逻辑蕴涵</strong>所要讨论的内容。</p>
<p style="margin-left:0cm;">设F是在关系模式R(U)上成立的函数依赖集合，X，Y是属性集U的子集，X→Y是一个函数依赖。如果从F中能够推导出X→Y，即如果对于R的每个满足F的关系r也满足X→Y，则称X→Y为F的逻辑蕴涵（或F逻辑蕴含X→Y），记为F|=X→Y。</p>
<p style="margin-left:0cm;">设F是函数依赖集，被F逻辑蕴涵的函数依赖的全体构成的集合，称为<strong>函数依赖集F的闭包</strong>(Closure)，记为<img alt="F^{+}" class="mathcode" src="https://private.codecogs.com/gif.latex?F%5E%7B&plus;%7D">。</p>
<p style="margin-left:0cm;"> </p>
<h3 style="margin-left:0cm;"><br><strong>函数依赖的推理规则及正确性</strong></h3>
<p style="text-indent:0;">从已知的函数依赖，可以推导出另外一些新的函数依赖，这就需要一系列推理规则，这些规则常被称为<strong>“Armstrong公理”</strong>。</p>
<p style="text-indent:0;">设有关系模式R(U)，U是关系模式R的属性集，F是R上成立的只涉及U中属性的函数依赖集。X，Y，Z，W均是U的子集，r是R的一个实例。函数依赖的推理规则如下。</p>
<p style="text-indent:0px;"><span style="color:#f33b45;"><strong>1. Armstrong公理</strong></span></p>
<p style="text-indent:0px;"><strong>（1）自反律（Reflexivity）</strong><br> 如果 YXU，则X→Y在R上成立。即一组属性函数决定它的所有子集。<br> 例如，在关系SCD中，(SNo, CNo)→SNo和(SNo, CN)→CNo。</p>
<p style="text-indent:0;"><strong>（2）增广律（Augmentation）</strong><br> 若X→Y在R上成立，且Z属于U，则XZ→YZ在R上也成立。</p>
<p style="text-indent:0;"><strong>（3）传递律（Transitivity）</strong><br> 若X→Y和Y→Z在R上成立，则X→Z在R上也成立。</p>
<p style="text-indent:0;">Armstrong公理的推理规则是正确的。也就是，如果X→Y是从F用推理规则导出，那么X→Y在<img alt="F^{+}" class="mathcode" src="https://private.codecogs.com/gif.latex?F%5E%7B&plus;%7D">中。<br><br><span style="color:#f33b45;"><strong>2. Armstrong公理推论</strong></span><br><strong>（1）合并律（Union rule）</strong><br> 若X→Y和X→Z在R上成立，则X→YZ在R上也成立。<br> 例如，在关系SCD中，SNo→(SN, Age)ÿ |
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