FOF组合构建，如何持续跑赢市场基准？——行业中性与跟踪误差技术运用

分析师：张青执业证书编号：S0890516100001
研究助理：程秉哲

FOF组合构建的一个重要目的，是通过组合化、分散化投资，获取较之单一基金更好的收益风险特征。这其中，能否持续稳定的跑赢市场宽基，是对FOF组合绩效评估的一个重要维度。为此，如何优化FOF组合中所配置的微观标的权重，提升跑赢市场基准的概率，是FOF研究及实践中必然要关注的问题。
在量化对冲、指数增强等量化选股研究领域，提升组合较之基准表现的稳定性，较为成熟的思路是行业中性与跟踪误差控制技术，前者通过控制较之基准的行业偏离度，降低行业风格的敞口暴露，以获取稳定的阿尔法收益；而后者则是通过对组合较之基准日超额收益的波动率控制，将组合较之基准的偏离度控制在一定范围，从而避免策略失效时大幅跑输基准。
本篇报告中，我们借鉴这两种思路，研究如何将其运用至FOF组合微观配置权重的优化。

1. 行业中性优化
1.1. 行业划分
对于行业的定义，考虑到算法运行效率，我们选用了行业划分较少的中证全指一级行业分类。其包括了能源、原材料、工业、可选消费、主要消费、医药卫生、金融地产、信息技术、电信业务和公用事业10个行业。选择中证全指还有一个好处，那就是几乎所有的股票都可以找到对应的行业，有益于优化的准确性。
在基准的选择上，我们使用沪深300、中证500和中证800三个常见的股票指数。每月，各大股指都会发布所包含成分股及占比，我们把这些成分股权重简单的映射到行业上，即可得到各基准每月在各行业的持仓占比。下图展示了三只股指在各行业占比的时间序列变动情况。可以看到，在代表大市值的沪深300中，金融地产占据了很大的比例。中证500中包含了更多的工业、原材料行业的股票。由于中证800是沪深300和中证500的汇总，而其中沪深300的权重占到了大约8成的比重，因此中证800的行业占比和沪深300极为相似。

对于基金组合的行业配比计算，我们的思路是先将每只基金的个股持仓信息映射到行业上得出单只基金的行业占比，再通过基金在组合中的占比即可算出整个基金组合的行业占比。然而，公募基金每季度才公布一次持仓情况，一季度和三季度报告只需披露10大重仓股，半年报和年报才会披露所有的持仓，这就导致基金持仓信息获取频率非常低。另外，半年报和年报分别到8月底和3月低才会披露，这种滞后性也是一个潜在的问题。虽然存在这些问题，但好在公募基金的调仓频率一般不高，且我们研究的行业配置，这较之单个个股的变动，应该稳定的的多，因而我们认为3、4个月前的持仓数据和当时的真实持仓数据，应当有一定的相似性，故逻辑上用半年报、年报的公募基金行业配置进行行业中性化权重优化，逻辑上是可行的。

1.2. 回测基本设置说明
回测时间区间为2011年3月31日至2020年9月30日。每季度末，我们随机选取10只基金。这10只基金必须是主动权益型基金，并且成立以来平均权益仓位不低于60%。我们根据当前的时间点，找到截止这个时间点可以获取的最近一期半年报或年报数据，计算其行业配置比例，然后将其与回测时间点的基准行业配置比例进行比较，构建优化模型。以季度为频率进行优化计算，如此即可得到每只基金的行业占比。每季度末，我们需要优化这10只基金的权重，使得基金组合的行业配置尽可能的贴合基准。

1.3. 优化函数
每季度末，为缩小基金组合的行业占比和基准的误差，我们的优化函数定义如下：

其中，i代表第i只基金；j代表第j个行业，中证一级行业共计10个行业，故取值1~10;即行业j在第i只基金的占比；即基准持有行业j的权重；为基金i在组合中的权重，也就是该优化问题中的变量。
对于约束条件的设置上，一个必要的条件是之和等于1。除此之外，对于的每一个元素，都需要有一个上限和一个下限。一般来讲，投资公募基金无法做空或者加杠杆，因此一个最宽松的上下限即。由于在回测的过程中，我们发现若使用此宽松的上下界，得出的中会有很多的0值，很多时候这样并不符合投资者的需求，因此我们还尝试了、两组上下界。尝试多组界限也能检验方法的稳健性。
对于最小化问题来说，如果目标函数是凸函数，那么优化结果就一定能向最佳解收束。为证明上述目标函数是凸函数，我们需要证明其二阶导不小于0。因为是相互对称的，我们只需证明目标函数关于任意一个的二阶导不小于0，我们设这个任意的为。
首先我们求一阶导：

再求二阶导：

如此即可证明目标函数在
都是凸函数。

1.4. 优化结果

我们分别使用三个基准，对该优化方法进行了测试。对于每一个基准，我们都运行了100次的模拟测试，以确保该方法的稳定性。单从行业配置优化的角度来看，这种优化方法确实有效缩小了基金组合的行业占比和基准的差距。下图展示了在不同约束条件下，目标函数经过优化后的值。在横坐标上，最左侧的即每只基金等权分配，分别占到10%的比重，这也是我们在优化算法中设置的初始值。当我们逐步放开约束条件后，误差也得以不断降低。

我们不妨用更加具体的例子来直观感受下行业配置误差的不断缩小。我们从100次模拟测试中随机选出一组基金组合，并展示在基金标的等权配置状态下，组合层面的行业配置时间序列变化图：

接下来，以沪深300做为基准并进行优化，当我们不断放宽约束条件，基金组合的行业权重图不断的向基准（沪深300）逼近。沪深300中金融地产的占比很大，优化后的基金组合也相应放大了金融地产的权重。初始占比较大的公用事业也被相应的压缩。

若基准为中证500，优化过后的基金组合行业权重也会逐渐向中证500靠拢。

1.5. 回测结果
在得到优化后的基金组合权重后，即可生成净值曲线。由于模拟了100个基金组合，我们只展示汇总后的统计结果。和大多数的策略回测不同，我们关注的并不是组合收益率、夏普比率、最大回撤等常规指标，而是跑赢基准的稳定性。我们用任意时间点持有一年打败基准的概率作为衡量跑赢基准的稳定性标准，并通过观察经过优化后该比率是否较等权组合有所提升，来判断我们的权重优化方法是否有效。
首先我们统计了在没有进过优化的情况下，等权组合的持有一年跑赢基准的胜率情况，这也是后续检验优化有效性时的参照对象。就算是等权组合，胜率也已经达到了比较高的水平。

表2统计了在不同约束条件下，任意时间点持有一年跑赢基准的胜率相较等权组合的提升幅度。这些值是100次模拟的平均值。可以看到，以沪深300和中证800作为基准，都达到了不错的效果。在不同的约束条件下，胜率较等权组合提升了2-4%不等，且在1%水平上显著。约束条件越宽松，提升幅度越大。但是若以中证500为基准，优化后的权重对任意持有一年胜率并没有显著提升。

表3统计了在100次模拟中，优化后的权重，能够提升胜率的占比。该比值越高，说明策略的可靠性越高。我们观察到，约束条件宽松，比值反而下降了。总的来看，以沪深300或中证800为基准，平均每4次模拟中，3次模拟的权重优化对策略稳定性提升有正贡献。以中证500为基准则不是很理想。

综合表2和表3，行业中性优化的方法确实可以在一定程度上提升基金组合跑赢基准的稳定性，但波动性较大。就算是使用沪深300作为基准，经过优化后策略跑赢基准的稳定性也有25%左右的概率弱于等权组合。这一结果的造成可能主要是由于半年报、年报持仓数据过于滞后导致的。因此，我们尝试另一种思路，即跟踪误差优化。

2. 跟踪误差优化
跟踪误差的计算只需要使用基金净值以及基准的价格数据。相较于公募基金的持仓数据，价格数据有高频率、低延迟的优点。在每季度末，我们用上一季度的日频价格数据生成一个跟踪误差相对于基金组合权重的函数，通过优化算法找到令跟踪误差最小化的权重，并以此作为下一季度基金组合的微观标的配置权重。其余做法和行业中性优化并无差异。同样，我们也运行了100次的模拟测试，回测结果的统计皆为100次模拟测试的平均值。
2.1. 优化函数
每季度末，我们对跟踪误差优化的定义如下：

同样，我们可以通过求二阶导的方式判断优化目标函数是否为凸函数。对于x的任意一个元素，目标函数的二阶导为：

因此，我们也可以用凸优化的方法来寻找最佳解。

2.2. 回测结果
和前面的做法一样，我们尝试了三组上下界的约束条件。从回测结果上来看，无论是看任意时间持有一年跑赢基准概率较等权组合的提升幅度还是100次模拟中优化后组合战胜等权组合的占比，跟踪误差优化都要优于行业中性优化。以沪深300或中证800作为基准，100次模拟中优化后组合战胜等权组合的占比都达到了近90%。以中证500作为基准的回测结果也有所提升。

2.3. 跟踪误差优化改进
2.1中定义的跟踪误差函数对待正误差和负误差是没有差别的，这使得优化算法无法区分波动率处于同一水平的好基金和坏基金。如果我们只对负误差进行优化，那么优化算法就可以在一定程度上帮助我们挑选业绩表现更好的基金，这对我们想要达到的目的而言是有利的。
负跟踪误差优化定义如下：

很显然，该函数是凸函数。我们也可以通过凸优化来求解。
从结果上来看，对于负跟踪误差的优化进一步的提升了组合跑赢基准的稳定性。在所有的基准和约束条件下，任意时间持有一年跑赢基准概率较等权组合的提升幅度都是显著为正的。

3. 结论
本期专题，我们尝试了行业中性优化和跟踪误差优化两类方法，来提升基金组合跑赢基准的稳定性。总的来看，两类方法都在一定程度上达到了预期的效果。相比而言，跟踪误差优化在数据获取上更加高频，延迟更低，模拟测试的结果也更加优异。对于跟踪误差优化，除了传统的跟踪误差定义方式，我们还尝试了单独对负误差进行优化，达到了更好的效果。
从基准选取来看，使用沪深300和中证800效果较好，中证500则效果不佳。中证500由于走势相对较弱，等权组合较其已经有相当高的胜率了，这可能是导致权重优化对稳定性提升不显著的原因。
从约束条件来看，选用更宽松的约束条件确实可增加跑赢基准稳定性较基准的提升幅度，但是随之而来波动性也有所增加，在100次模拟中打败等权组合的次数是有所下降的。另外，宽松的约束条件会导致更多的基金被分配0权重，在设定约束条件时要根据需求来权衡。