部分欧式期权BS模型二阶希腊字母推导

本报告完成时间丨2020年9月10日

介绍
在前期的研究报告《沪深 300 股指期权价格变动归因分析（一）》及《沪深 300 股指期权价格变动归因分析（二）》当中，我们采用主要由一阶希腊字母构成的模型对沪深300期权价格的变动进行了分析。使用希腊字母来对期权价格变动进行归因分析的实质是利用泰勒级数展开拟合一个复杂函数随其影响因子变化而在变量空间中产生的位移。在泰勒展开式中，使用一阶展开项建模代表对位移的线性拟合。根据泰勒展开式的原理，当单个因素变动较大的时候，受高阶非线性变化的影响，使用一阶希腊字母构造的模型对期权价格变动的解释度将会大幅下降。为了提升模型的解释度，我们也许需要引入除 Gamma 以外的更多二阶希腊字母。

图1展示了部分希腊字母的衍生图，方块旁边绿色的字母代表其上级衍生这个分支时的偏导数对象。其中，蓝色代表一阶希腊字母，也就是我们常用的Delta，Theta，Rho，Vega。黄色代表二阶希腊字母（重复项为淡色），由一阶字母再次对基础变量进行求导得到。橘色则代表三阶希腊字母，同样由对二阶字母再次求导得到。在二阶希腊字母中，Vera由Rho衍生得到。Rho代表无风险利率对股指期权价格的影响，其本身对股指期权价格的影响微乎其微，我们对它的衍生字母Vera暂不做讨论。同样的，三阶字母在泰勒级数展开中对应的乘数极小，对期权价格也难以产生较大影响，不做讨论。本文接下来将重点介绍的是Veta， Charm，Vanna，Vomma这4个二阶希腊字母的计算公式及其推导。

一、 Veta
Veta是期权价格相对于波动率以及时间的二阶混合偏导数。我们可以把它写作Vega相对于时间t的偏导数或者Theta相对于波动率σ的偏导数。由于看涨期权与看跌期权的Vega表达式相同，看涨期权与看跌期权的Veta以及其他由 Vega衍生的二阶希腊字母表达式也保持一致：

已知Vega的公式为：

其中，代表正态分布的密度函数，()的公式为：

BS模型d1，d2的公式为：

所以Veta可以重写为：

为了方便表述，这里我们把Tt写作τ。所以，原式可以写作：

我们按乘积法则以及链式法则将1.6式展开为多个导数的相加以及相乘：

其中，d1相对于存续时间的倒数可以按变量的幂进一步展开为（注意：1.8式在后面会多次用到）：

其中两个存续时间函数的导数为：

将1.9式带入到1.8式中，我们得到：

我们可以对式子进行构造，从括号中的参数组合中提取出一个d2（注意：1.11式在后面会多次用到）：

回到1.7 式，密度函数相对于d1的导数为（注意：1.12式在后面会多次用到）：

结合1.11式可以推导得到：

将1.13式带入到1.7式当中：

由此我们得到了BSM模型下Veta的一般表达式。根据Veta的定义，我们可以预见，Theta对于波动率的偏导数公式应当与1.14式一致，以欧式看涨期权的Theta为例：

其中，N为正态分布的累积密度函数，其对于d2的倒数为正态分布的密度函数(d2 )。将1.16式展开：

其中，d1对于波动率的偏导数为（注意：1.18，1.19式在后面会多次用到）：

根据d1与d2之间的关系，可以推测d2对于波动率的偏导数为：

结合1.12，1.18式，可以得到密度函数对于波动率的偏导数为：

另外，1.17括号中第三项满足(见 Appendix)：

结合1.17，1.19，1.20与1.21式子，我们可以得到：

证明完毕。

二、 Charm
Charm是期权价格相对于标的以及时间的二阶混合偏导数，其公式可以通过推导delta相对于时间或者Theta相对于标的价格的偏导数得到：

首先，我们从delta开始推导，看涨期权，看跌期权delta的表达式为：

由于看涨期权，看跌期权的delta只相差一个常数，而常数项对于任何变量的导数都为0，看涨，看跌期权由delta衍生出的二阶希腊字母表达式都相同。将2.2式展开：

在1.11式，我们已经得到了d1相对于存续时间的偏导数，这里不重复推导：

将2.4式带入到2.3中，我们得到Charm的一般表达式为：

接着，我们再从theta开始，辅证2.2表达式的正确性，以欧式看涨期权的theta为例：

将2.6式以乘积法则和链式法则展开：

2.7式里，由于d1，d2的公式中只有ln(S/K)与标的指数有关，他们对于标的的偏导数相同：

将2.8式结合1.12式带入2.7式中，最终得到Charm的表达式与方才推导的2.5式一致：

证明完毕。

三、 Vanna
Vanna是期权价格相对于标的以及波动率的二阶混合偏导数，其公式可以从推导delta相对于波动率或者Vega相对于标的价格的偏导数得到：

看涨期权delta相对于波动率的偏导数可以展开为：

在1.18式中，我们已得到d1相对于波动率的偏导数为：

结合3.2，Vanna的一般表达式就出来了：

注意，由于Vega的一般表达式为：

因此，Vanna还可以写作：

接下来，我们再从Vega出发，辅证3.4式。Vega相对于标的指数的偏导数可以展开为：

已知：

原式可以写作：

证明完毕。

四、 Vomma
Vomma是期权价格相对于标的波动率的二阶偏导数，Vomma的公式可以写作：

从前面的证明中，我们已知：

结合4.1式子，我们可以得到：

证明完毕。

总结

本篇中我们对部分二阶希腊字母的表达式进行了推导，表1总结了我们推导的结果。下一篇，我们会以3D作图的方式直观地展示各个希腊字母随其参数变化而改变的情况，并结合公式分析其特征。

Appendix：1.21式的证明
由于1.21式在推导一阶希腊字母的时候常常需要用到，接下来我们采用配方法对其进行简单的证明：

本证明主要采用配方法，也就是对密度函数右上角平方进行配分，换元。首先，我们将等式左侧的元素进行展开。其中，密度函数的导数可以展开为：

将指数函数右上角继续展开可以得到：

Ke^(-rτ)则可以写作自然指数函数的形式，以方便我们后续将其带入到5.2式中：

结合5.2，5.3，5.4式，5.1式左侧的部分可以展开为：

我们注意到，由于ln(S/K)-rτ的加入，5.5式的右上角可以配成与5.3式类似的另一个平方式：

结合5.5式与5.6式：

证明完毕。

作者姓名：刘超
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研究助理：王程充
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