美式期权定价（一）——二叉树模型详解

作者 | 刘超  中信建投期货金融衍生品分析师
本报告完成时间  | 2020年07月31日

一
介绍
经典的期权定价模型Black-Scholes模型主要是针对欧式期权，对于美式期权，由于存在提前行权的可能性，经典的Black-Scholes模型不再适用，此时需要其他方法来完成相关定价，本文将介绍美式期权定价常用的二叉树方法。

二
一步二叉树的例子与说明
二叉树设想的是一种特殊的市场。在二叉树中，任意证券的价值变动在下一个时间点只存在两种情况，分别对应两种市场状态。所以我们可以用两个箭头，从期初价值分别指向这两种市场状态下的期末价值，来表示二叉树。比如，下图展示了一个证券S的二叉树：

图中，S_u与S_d分别代表了下一时间点市场两种状态下S的价值。为了方便区分，我们把二叉树上末梢的状态叫做上行状态，另一个叫做下行状态。下面，我们假设存在4种证券。期末支付额直接与市场状态挂钩的M_u与M_d，以及允许我们投资某种证券以及无风险资产1元的证券1_s与1_b。其中，M_u只在期末市场为上行状态的时候支付1元，而M_d只在下行状态支付1元[1]。使用二叉树，他们可以表示为：

如果证券S期末价值为S_u或者S_d，则期初投资一元的收益为U=S_u/S=e^u，D=S_d/S=e^d。其中u与d分别代表两种市场状态的对数收益。对于无风险资产而言，它的收益不受市场状态影响，所以他的期末价值等于e^rdt=e^rdt（这里的dt代表时间间隔）。观察上面的二叉树，我们可以发现，如果同时持有M_u，M_d，那么无论遇到什么市场状态，都可以得到1元。这意味着持有者可以无风险地在未来收到一元，所以这种投资组合的价值等于e^-rdt单位的无风险资产：

我们可以通过线性组合的方式使用1_s以及1_b构建与M_u等价的资产组合，可以写成：

要做到等价，就需要让资产组合二叉树的右边两项，也就是资产组合未来任何市场状况实现的价值与M_u完全一致，这需要我们解方程：

这一组方程的解为：

把解带入到1.3当中，得到M_u的价值为：

按照1.1中M_u与M_d的关系，可以得到M_d的价值为：

通过简单的变换，这两个式子又可以写为：

这里的q，就是我们常说的风险中性概率，本质上说其不是一种概率，而是一种权重。风险中性概率就像真实概率一样，累加之和等于1，但它既不与期望收益有关，也不与真实概率有关。我们经常把风险中性概率称为Q测度，把真实概率称为P测度[1]。根据定义，我们还可以得到：

注意，我们之前定义：U=S_u/S=e^u，D=S_d/S=e^d。所以，将等式两边同时乘以S，可以得到：

也就是说，证券的价值等于它在无风险测度下期望价值的折现值。并且，折现使用的是无风险利率。这个公式对期权也同样适用。假设期权在市场上行状态支付C_u，在下行状态支付C_d。而M_u，M_d分别代表了“只在上行状态收获1元的证券”与“只在下行状态收获1元的证券”的折现价值。那么我们分别用C_u单位个M_u与C_d单位个M_d构造一个投资组合，理论上它在期末任何市场状态的收获都与C完全一致。根据价格一致原则，该投资组合的价值也应当与C一致[1]。也就是说：

二叉树模型下期权的定价推导完毕。后面，我们将介绍如何确定每一步中标的上行与下行幅度来逼近标的所服从的连续分布，然后结合本文所讲二叉树模型来为美式期权进行定价。

三
引用
[1] Derman, E., & Miller, M. B. (2016). The volatility smile: An introduction for students and practitioners. Hoboken, NJ: Wiley.

重要声明

本报告中的信息均来源于公开可获得资料，中信建投期货力求准确可靠，但对这些信息的准确性及完整性不做任何保证，据此投资，责任自负。本报告不构成个人投资建议，也没有考虑到个别客户特殊的投资目标、财务状况或需要。客户应考虑本报告中的任何意见或建议是否符合其特定状况。

全国统一客服电话：400-8877-780
网址：www.cfc108.com
点击遇见更多精彩

动手点个【赞】和【在看】· 将会遇见更多精彩