股指期权策略研究 · Gamma Scalping策略分析（一）——基于BSM视角

本报告完成时间  | 2021年2月2日
摘要
本文基于BSM模型以及蒙特卡洛模拟对影响Gamma Scalping策略期末累积损益的因素进行了详细的分析。
本文首先模拟了Gamma Scalping策略在投资期间的交易明细，分析了理想状况下Gamma  Scalping策略期末资产净值的表达式。结果表明，若期权定价公允，投资者使用标的未来的真实波动率对期权头寸进行连续的Delta对冲，那么Gamma Scalping策略将不受标的价格变化路径的影响，其期末收益率与无风险收益率相等。
考虑到实际情况中上述条件无法满足（期权市场定价不公允，标的的未来真实波动率未知，投资者无法做到连续对冲），本文重新假设投资者的对冲操作是离散的，并且对冲波动率、隐含波动率、标的未来真实波动率三者互不相同。随后，基于这一假设，本文推导了Gamma Scalping策略期末折现收益的公式并利用蒙特卡洛模拟进行了验证。
结果表明，震荡行情下，Gamma Scalping策略收益的折现值接近其期权组合公允价值与市面价值之差。当投资者用于Delta对冲的波动率与标的未来真实波动率一致的时候，Gamma Scalping策略期末收益率的方差最小。在趋势行情中，标的价格的持续上涨或者下跌会使得期权组合偏离平值，资产组合整体的Gamma值减少，盈利能力下降。
关键词：Gamma Scalping损益分析，蒙特卡洛模拟，BSM

一
简介
在股票、期货的交易中，投资损益的来源相对单调，投资者们根据自己对市场走势的判断进行低买高卖，或高抛低收，本质上赚取的是价格位移的钱。对于这类市场，方向判断的胜率以及入场时机的选择是其盈利的核心。当前股票、期货市场已经相对成熟，市场中的大行情较少，震荡居多，判断高低点的难度越来越高，多数情况，投资者们都在追涨杀跌。然而，在期权市场，方向不再是全部，影响期权价格的因素较多，期权交易的维度也更高。借助期权价值的非线性特征，期权投资者甚至可以消除标的价格方向的影响，从其他维度赚取收益。
假设投资者持有一个由期权多头与标的资产构成的Delta中性资产组合，为使得该资产组合持续保持Delta中性，投资者便需要持续进行动态Delta对冲。由于期权多头价值变化曲线的凸性（Gamma）始终为正，当标的资产上涨时，资产组合的Delta向正数区间偏移，为了使得资产组合回归Delta中性，投资者可以选择做空标的资产、卖出看涨期权或者买入看跌期权；当标的资产下挫时，资产组合的Delta向负数区间偏移，为了使得资产组合回归Delta中性，投资者则可以选择做多标的资产、买入看涨期权或者卖出看跌期权。在此过程中，无论动态Delta对冲的形式是什么，总的来看，投资者实现总是低买高卖，实现稳定的价差收益。此时低买高卖的盈利性并不依赖于标的价值变化的趋势，而是取决于标的资产价值变化的剧烈程度。这样利用期权多头凸性，从标的价格的波动中稳定刨取价差收益的策略，便称作Gamma Scalping。
当然，通过Gamma Scalping策略实现稳定的低买高卖并不是免费的。从时间维度上看，随着到期日的临近，期权端的时间价值会逐渐衰减。在实行Gamma Scalping策略的过程中，只有标的的真实波动率足够大，提供足够多动态对冲的机会，投资者才能在期权到期以前从价格波动中赚取足够多的价差收益，抵消期权端时间价值的损失并留下可观的净利润。在本文中，我们将从数学推理，蒙特卡洛模拟两个方面详细解析Gamma Scalping策略盈利的原理，并分析适宜实施该策略的市场状况。

二
Gamma Scalping策略中损益的数学分析
2.1 理想状况下的Gamma Scalping 损益公式
广义上来说，Gamma Scalping策略的形式是非常多样的，无法以一概全。为了保证分析的准确性，本文中我们只讨论符合接下来定义的那一部分。首先，Gamma Scalping策略的期权持仓既可以只含有看涨或者看跌期权，也可以是任意比例看涨看跌期权的组合。但是，Gamma Scalping策略资产组合的Gamma值需要是正数，否则，投资者便无法从动态对冲中获利。其次，如开头提到的那样，在Gamma Scalping策略中，Delta对冲既可以通过买卖标的来实现，也可以通过期权交易实现。然而，期权交易会同时改变资产组合的多个希腊字母，为简化分析，在接下来的模拟中我们采用买卖标的来实现Delta动态对冲。最后，触发Delta动态对冲的调仓信号的既可以定时生成也可以由事件触发。由于“事件”的定义较为宽泛，有基于过去标的统计特征（Ad Hoc）的，也有基于效用（e.g. Zakamouline）的，本次为了分析的简便性，我们使用等时间间隔生成的定时信号来决定调仓的时机。

上表展示了期初资产为C₀的Gamma Scalping策略的持仓明细。策略采用时间驱动，在相等时间间隔的每一个时间戳的末尾进行调仓，调仓前后的资产净值不变。对于任意一个时间戳m，在调仓前，期权头寸为C_m，策略持有的标的份额为Δ_(m-1)，标的头寸为Δ_(m-1)*S_m，而目标持仓为Δ_m，因此策略需要卖出价值为S_m(Δ_m-Δ_(m-1))的标的，无风险资产仓流入S_m(Δ_m-Δ_(m-1))，到了时间戳m+1，在时间m处流入的资金以无风险利率增值到S_m(Δ_m-Δ_(m-1))*e^rδ。通过迭代推理，我们可以得到时间n之时Gamma Scalping策略的资产净值为：

假设调仓时间点的间隔无限小，且终止时间点为T，我们可以将求和函数改为向后积分函数：

2.1.2中积分部分可以变形为：

根据BSM模型，在无风险测度下，标的价格的随机过程为：

对2.1.3式进行变形可得：

将2.1.5式代入2.1.3式的积分部分，最终我们化简得到Gamma Scalping策略在T时刻的资产净值公式为：

理想状况下，未来的真实波动率为常数并且已知，期权定价是公允的，若使用以真实波动率计算的Delta(_BS)对期权进行无缝隙的连续对冲，那么期权与标的的资产组合在任意时刻都是无风险的，并且T时刻的资产净值与轨迹无关。这种情况下，资产组合的期末收益率应该是无风险利率，也就是说。

根据Derman 与Miller [1]的研究，由于式中dw_x取自风险中性测度，期望为0，无论Δ如何取值，将2.1.7式两边同时求期望都可以得到：

也就是说，即使不使用真实波动率对冲，在期权定价公允的情况下，Gamma Scalping策略期末收益率的期望还是无风险利率。

2.2 Gamma Scalping 的对冲误差
在实际交易中，连续对冲无法实现，属于未来信息的真实波动率无法预知，我们自行设定用于对冲的波动率C_cons（我们将其简称为对冲波动率）与真实波动率是存在差异的。并且，受供需关系，多空交易成本差异，市场情绪等因素影响，期权市面价格与公允价格也往往存在一定差距（隐含波动率并不等于标的未来真实波动率）。这些现实因素导致实际施行Gamma Scalping 策略时其收益与理想情况存在对冲误差。接下来，我们将基于BSM模型推导折现后这个误差在Gamma Scalping策略整个投资期上的累积值，推导过程主要参考了Wilmott[2]与Sinclair[3]的研究成果。考虑到在接下来的推导中，未来标的真实波动率、隐含波动率以及对冲波动率不一定相等。我们分别以r (real)，i (implied)，cons (constant) 作为这三种波动率及其衍生物对应代数的下标，加以区分。表2列出了波动率相关代数的含义。

已知理想状态下的Gamma Scalping策略期末累积收益为无风险收益r，资产组合当前净值为π，对冲误差的微分方程可以写作：

对2.2.1式变换可得：

2.2.2式可以拆分为两个部分。其中第一部分可以理解为期权市面价值与基于对冲波动率计算的期权价值之差；第二部分则是假定期权隐含波动率等于对冲波动率时，Gamma Scalping策略的对冲误差。Sinclair[3]曾推导过以隐含波动率进行Delta对冲时，策略的对冲误差公式。该公式的推导正好可以套用在2.2.2式第二部分中。在BSM模型下，标的的随机过程满足：

其中u_s与 σ_s都是常数，分别代表标的期望收益率与波动率。已知期权价格与标的价格以及时间存在映射关系，由伊藤定理可知期权价格的微分公式为：

当2.2.4式用于描述实际环境中期权价格变化量时，dS指代真实标的价格的变动，σ_s指代未来真实波动率。因此，2.2.2式中第二项可以写作：

对于2.2.2式中的第三项，我们可以引入BSM模型偏微分方程进行变换：

因此，2.2.2式中的第三项等价于：

将2.2.5式以及2.2.8式带入到2.2.2式中，可得：

直接对2.2.9式中的结果求积分相对复杂，因此，我们改为求其折现值：

对2.2.10式在整个投资期上积分，可得累积折现对冲误差为：

在靠近结算日之时，期权价格将逼近其内涵价值，同一标的且行权价一致的期权内涵价值一致。也就是说：

最终，Gamma Scalping策略的累积折现对冲误差可以写作：

考虑到实际交易中连续对冲无法实现，2.2.14中的积分项应使用求和近似，所以，累积折现对冲误差应变换为：

其中，δ代表了两次调仓间的时间间隔。Gamma Scalping策略的整体折现收益由本金在无风险利率上的收益与累积对冲误差组成，前者以无风险利率折现后的收益为0。因此，Gamma Scalping的期末折现收益与累积折现对冲误差是相等的：

三
蒙特卡洛模拟
观察2.2.14式，当真实波动率与对冲波动率一致的时候，的期望为0：

若调仓频率足够高，在自我中和的效应下，2.2.15式中的累加项对策略资产折现净值变化曲线扰动较小，Gamma Scalping策略期末的收益率实际主要由C_{(cons,t0 )}-C_{(i,t0 )}决定。当真实波动率大于(小于)对冲波动率时，累加项长期为正(负)，e^{(-r(t-t0 ))} Г_cons S²的波动性便被传递到了Gamma Scalping策略的资产折现净值变化曲线中。因此，我们可以得出两个简单的推论，其一，当对冲波动率与真实波动率完全一致的时候，Gamma Scalping策略期末折现收益率的期望为期初期权的公允价值与市面价格之差。其二，当对冲波动率与真实波动率完全一致的时候，Gamma Scalping策略期末折现收益率的方差最小，并且，提高调仓频率可以有效降低期末策略收益率的方差。由于Gamma Scalping累积误差公式过于复杂且存在路径依赖的问题，我们无法简单的通过公式映射去验证以上推论，然而，我们可以模仿Derman与Miller [1]使用蒙特卡洛模拟的方式去获得特定参数下Gamma Scalping折现收益的分布。

3.1 蒙特卡洛模拟算法
在BSM假设当中，标的资产的价格变化满足随机过程：

由伊藤引理可得：

对3.1.2式两边同时进行积分可得：

将3.1.4式两边同时引入自然指数函数，我们便获得了标的价值S在时间轴上的迭代关系：

由于u_s与 σ_s都是常数，当时间间隔较小时，3.1.4式还可以写作：

根据3.2.5式，我们只需要设定好标的价值初始值S₀、标的期望收益率u_s与标的波动率σ_s，就能随机生成若干条标的价值变化路径。其中，δ的大小决定了标的价值变化路径上时间戳的紧凑度，δ越小，路径时间戳间隔越短，蒙特卡洛估算法的结果越精确。当然，这也我们意味着需要投入更多的计算成本。通过在足够多的标的价值变化路径模拟Gamma Scalping策略，我们便能获得一个Gamma Scalping策略期末折现损益的大致分布，了解其收益以及风险的特征。
在本文的蒙特卡洛模拟中，Gamma Scalping策略的期权持仓采用一组行权价相同的平值的看涨看跌合约（期权跨式组合），但其模拟结果对其他期权多头组合同样适用。

3.2 使用真实波动率对冲时Gamma Scalping策略的收益情况
首先我们统一设定蒙特卡洛模拟中标的价值初始值S₀为1000，行权价1000，终止时间为T为1，无风险利率为0（期末收益与折现后期末收益一致）。假设真实波动率、隐含波动率、对冲波动率三者完全一致，等于0.2。模拟结果如下：

如图1、图2、图3、图4所示，当三个波动率相同的时候，与我们之前的推导一致，Gamma Scalping策略的期末期望收益率等于0，且方差非常小。对比调仓间隔为1与调仓间隔为100个时间戳的情况可以发现，提高调仓频率有效减少了策略期末折现收益率的方差，这是由于2.2.15中累加项自我中和的频率提高了。
接下来，我们设定隐含波动率依旧为0.2，令真实波动率与对冲波动率等于0.4。也就是说，市场波动率被低估了，期权定价不公允，然而我们依旧按真实波动率对冲。

如图5、图6、图7、图8所示，无论调仓频率为100或者1，Gamma Scalping策略的期末折现收益率期望都约为100%。而在满足先前设定条件（S=1000,K=1000，σ_rv=σ_cons=0.4）的情况下，期初期权公允价值与市场价值的百分比差值约99%。两者十分相近，符合我们之前的预期。同时，与之前的模拟类似，对比调仓间隔为1与调仓间隔为100两个策略的期末收益率分布可以发现，提高调仓频率也有效减少了策略期末收益率的方差。调仓间隔为1的策略折现资产净值变化曲线收敛性较高，具有明显的上下界。并且，图4中资产折现净值变化曲线的上下界是可以用公式表达的，对此，Derman与Miller [1]已在其研究中给出了详细的推导。
对于任意一个初始净资产为A，对冲波动率等于真实波动率的Gamma Scalping策略，其时刻m的策略折现资产净值变化曲线可以拆解为本金为A的无风险资产的变化曲线与对冲误差的累积曲线。

由于折现后无风险资产随时间变化的曲线为水平直线，在计算上下界时，我们只需要考虑对冲误差的累积曲线：

根据之前的证明，在期权定价公允且对冲波动率与真实波动率完全一致的时候，Gamma Scalping的对冲误差为0，因此：

将3.2.4带入到3.2.2中可得

因此折现累积误差的微分公式为：

对3.2.7式进行从t0处到任意大于t0的时间点m进行积分：

对任意一个时间点m，Gamma Scalping策略的积累折现对冲误差为：

期权在临近行权日的时候，其价格都会逼近它的实值。即使波动率设定有差异，期权的公允价值也会向市面价值靠近。也就是说：

因此，当对冲波动率等于真实波动率时，Gamma Scalping策略积累折现对冲误差的上界是期初期权公允价值与市面价值之差。3.2.9的下界则可以通过求导法获得，由于用于计算期权价格的无风险利率、行权价、波动率、存续时间都是事先规定好的，,  ,的值主要受到S影响。令,  ,相对于标的价格S的一阶导数为0可得,  ,的最大值为：

由于Gamma Scalping策略中期权多头可能含有多个参数不同的期权，不同期权的Delta_hat不同，所以3.2.14式使用了累加。将累积折现对冲误差与期初本金相加可得策略的资产折现净值在m时刻的上下界为：

将3.2.13式与3.2.14式作图，其曲线与图7上下界完全一致，证明完毕。

3.3 使用其他波动率对冲时Gamma Scalping策略的收益情况
接下来，我们同样设定隐含波动率依旧为0.2，令真实波动率为0.4，但让对冲波动率为0.3。也就是说，市场波动率被低估了，并且对冲波动率与真实波动率不一致。

正如我们预期的那样，当真实波动率与对冲波动率不一致的时候，Gamma Scalping策略对标的本身变化的风险暴露未能得到充分对冲，即使提高调仓频率，策略期末折现收益率的方差也没有明显的降低。同时，与Sinclair[3]的模拟结果一致,将对冲波动率从0.4降低到0.3并未对策略期末折现收益率的期望造成大幅影响。回顾一下累积折现对冲误差的公式：

整体来看，当对冲波动率变化时，与的差值与累加项中变化的方向相反，相互抵消，导致对冲波动率的变化对策略期末折现收益率影响较小。

如图16所示，Gamma Scalping策略期末折现收益率的期望主要受真实波动率与隐含波动率之间的关系影响，真实波动率越大，隐含波动率越小，Gamma Scalping策略期末期望收益率的期望越高。对冲波动率的大小对Gamma Scalping策略期末收益率的期望影响甚微，然而，只有当对冲波动率与真实波动率一致之时，Gamma Scalping策略期末收益率的方差是最小的。因此，我们能通过使用波动率预测工具减少对冲波动率与真实波动率之间的差值来降低Gamma Scalping策略期末收益率的波动性。

Gamma Scalping策略的主要收益来源于期权收益曲线的凸性，也就是Gamma值。理论上，Gamma值在期权处于平值价位的时候最大，若标的价值在投资过程当中具有趋势，使得期权偏离平值，那么Gamma Scalping的收益便会降低。参考图18，图20可以发现，持有虚值期权组合或者实值期权组合的Gamma Scalping策略盈利能力不如持有平值期权组合的Gamma Scalping策略。
从图17，图19可以看出，在对冲波动率高于标的未来真实波动率之时，Gamma Scalping策略收益随标的趋势性增加而增加，在对冲波动率高于标的未来真实波动率之时，Gamma Scalping策略收益随标的趋势性增加而减少。这是因为若对冲波动率与标的未来真实波动率不一致，Gamma Scalping策略的实际delta不为0，其最终收益对标的价格的变动有风险暴露。这部分风险暴露主要由Gamma Scalping策略中期权持仓的实际delta与对冲时所采用的delta之差决定。如图22所示，Gamma值随标的增加而先增后减，在平值附近取得最大值，因此Delta值在平值附近的变化最为剧烈。波动率越小，Gamma曲线最大值越高，与之对应，Delta在平值附近的上升速度也越大。因此，持有平值期权时或跨市组合多头时，若标的上行，超过行权价，则基于较低波动率计算的Delta将超过基于较高波动率计算的Delta；若标的下行，低于行权价，则基于较低波动率计算的Delta将超过基于较高波动率计算的Delta。
在图17中，当对冲波动率若低于真实波动率，期权组合多头的Delta在标的上行时小于对冲Delta，在标的下行时高于对冲Delta，资产组合整体的Delta方向与标的趋势相反，无论标的向哪个方向移动，策略的资产组合整体上都会亏损。在图19中，对冲波动率若高于真实波动率，期权组合多头的Delta在标的上行时大于对冲Delta，在标的下行时低于对冲Delta，这使得组合整体的Delta方向与标的趋势相同，无论标的向哪个方向移动，策略的资产组合整体上都会盈利。因此，通过适当提高对冲波动率，在面对趋势性行情的时候可以提高Gamma Scalping 策略的盈利能力。

四
研究结论
从之前的模拟中可以看出，Gamma Scalping策略的收益主要依赖于标的市场的波动性，通常只有当未来真实波动率高于隐含波动率之时，Gamma Scalping策略才具有盈利能力。在震荡行情中，Gamma Scalping的期望盈利主要取决于市场未来真实波动率被低估的程度，市场未来真实波动率与隐含波动率的差距越大，Gamma Scalping 策略能获得的利润越大。同时，我们实施对冲时所使用的对冲波动率与未来真实波动率之间的差异决定了Gamma Scalping 策略未来收益的波动性，对冲波动率与真实波动率之间的差异越小，Gamma Scalping策略的期末收益越稳定。在趋势行情中，标的价格的持续上涨或者下跌会使得期权组合偏离平值，资产组合整体的Gamma值减少，盈利能力下降。为弥补这部分损失，投资者可以适当提高对冲波动率，当对冲波动率高于真实波动率之时，无论标的价值持续上涨或者下跌，Gamma Scalping策略都能从其趋势中获利。
本文中所有对于Gamma Scalping策略的讨论都是基于BSM模型的理想假设。市场的真实情况相对这些设定存在诸多差异。因此，本文中得出的结论并不一定适用于实际交易，其效用只限于提供一定参考。在实际进行Gamma Scalping策略时，投资者还需根据市场情况以及自身风险与收益的需求对策略实行的多处细节进行设定。比如，在选择对冲波动率的时候，投资者需要判断市场所处的状态；在选择对冲频率上，投资者需要考虑交易成本与期末收益稳定性上的对立；若标的行情具有趋势，使得期权端的虚实程度发生变化，投资者或许还需要考虑如何对期权端进行调整。

五
参考文献
[1] Derman, E., & Miller, M. B. (2016). The Volatility Smile. Hoboken, NJ, USA: John Wiley & Sons, Inc.
[2] Wilmott, P. (2006). Paul Wilmott On Quantitative Finance. The Atrium, Southern Gate, Chichester, England: John Wiley & Sons, Inc.
[3] Sinclair, E. (2013). Volatility Trading. Hoboken, NJ, USA: John Wiley & Sons, Inc.

作者姓名：刘超
期货投资咨询从业证书号：Z0012924
电话：023-86769757
研究助理：王程充
期货从业证书号：F3075975

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本报告中的信息均来源于公开可获得资料，中信建投期货力求准确可靠，但对这些信息的准确性及完整性不做任何保证，据此投资，责任自负。本报告不构成个人投资建议，也没有考虑到个别客户特殊的投资目标、财务状况或需要。客户应考虑本报告中的任何意见或建议是否符合其特定状况。

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